A B. 5381. feladat (2024. március)

B. 5381. Adott az $\displaystyle \Omega_1$ körbe írt $\displaystyle ABCDEFGH$ nyolcszög, és $\displaystyle \Omega_1$ belsejében az $\displaystyle \Omega_2$ kör. Tegyük fel, hogy az $\displaystyle \omega_1$, $\displaystyle \omega_2$, $\displaystyle \omega_3$, $\displaystyle \omega_4$ körök kívülről érintik $\displaystyle \Omega_2$-t, továbbá $\displaystyle \omega_1$ belülről érinti az $\displaystyle \Omega_1$ kör $\displaystyle AB$ ívét, az $\displaystyle AF$ és a $\displaystyle BE$ szakaszt; $\displaystyle \omega_2$ belülről érinti a $\displaystyle CD$ ívet, a $\displaystyle CH$ és a $\displaystyle DG$ szakaszt; $\displaystyle \omega_3$ belülről érinti az $\displaystyle EF$ ívet, az $\displaystyle AF$ és a $\displaystyle BE$ szakaszt; végül $\displaystyle \omega_4$ belülről érinti a $\displaystyle GH$ ívet, a $\displaystyle CH$ és a $\displaystyle DG$ szakaszt az ábra szerint. Mutassuk meg, hogy az $\displaystyle AF$, $\displaystyle BE$, $\displaystyle CH$ és $\displaystyle DG$ szakaszok által bezárt négyszögbe kört lehet írni.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2024. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Térbe kilépéssel, a körökre illesztett kúpokkal bizonyítunk.

Az $\displaystyle AF$ egyenesnek a $\displaystyle B$, $\displaystyle E$ pontokat tartalmazó oldalát az egyenes belső oldalának fogjuk hívni, és ugyanígy, a $\displaystyle BE$, $\displaystyle CH$ és $\displaystyle DG$ egyeneseknek az $\displaystyle A$, $\displaystyle F$, a $\displaystyle D$, $\displaystyle G$, illetve $\displaystyle C$, $\displaystyle H$ pontokat tartalmazó oldalát is az illető egyenes belső oldalának nevezzük. A feladatunk egy olyan kör megszerkesztése, amely az $\displaystyle AF$, a $\displaystyle BE$, a $\displaystyle CH$ és a $\displaystyle DG$ egyenest is a belső oldalán érinti.

Az ábra síkját – a továbbiakban alapksíknak fogjuk hívni – helyezzük el a térben. A sík egyik oldalára mondjuk azt, hogy a sík fölött van. Például, az alapsík lehet a térbeli derékszögű koordináta-rendszer $\displaystyle x$–$\displaystyle y$ síkja, az alapsík fölötti pontok a pozitív $\displaystyle z$-koordinátájú pontok. Az alapsíkban fekvő köröket feleltessük meg az alapsík fölötti féltér pontjainak a következőképpen. Ha $\displaystyle k$ tetszőleges kör a síkban, akkor illesszünk rá egy $\displaystyle 45^\circ$-os meredekségű kúpot; a kúp csúcsát jelöljük $\displaystyle V(k)$-val. Másképpen fogalmazva, ha $\displaystyle k$ az $\displaystyle (x,y)$ középpontú, $\displaystyle r$ sugarú kör, akkor legyen $\displaystyle V(k)=(x,y,r)$. Megfordítva, minden, a sík fölötti $\displaystyle P=(x,y,r)$ ponthoz létezik egy $\displaystyle 45^\circ$-os meredekségű kúp, amelynek csúcsa $\displaystyle V$, és alapköre az alapsíkban van, nevezetesen az $\displaystyle (x,y)$ középpontú, $\displaystyle r$ sugarú kör; jelöljük ezt a kört $\displaystyle \kappa(P)$-vel.

Szükségünk lesz a következő egyszerű észrevételre. Tegyük fel, hogy az alapsíkban adott egy $\displaystyle \ell$ határú $\displaystyle \mathcal{F}$ félsík, és vizsgáljuk azokat a $\displaystyle k$ köröket, amelyek $\displaystyle \mathcal{F}$-ben fekszenek, és érintik $\displaystyle \ell$-et. Látható, hogy az összes ilyen körökhöz tartozó $\displaystyle V(k)$ pontok halmaza egy félsík, ami illeszkedik $\displaystyle \ell$-re, az $\displaystyle \mathcal{F}$-fel $\displaystyle 45^\circ$-os szöget zár be, és persze az alapsík felső oldalán van.

Tekintsük az alapsíkban azokat a $\displaystyle k$ köröket, amelyek az $\displaystyle AF$ egyenest a belső oldalán érintik. A fenti észrevétel szerint a $\displaystyle V(k)$ pontok egy $\displaystyle AF$-re illeszkedő $\displaystyle \mathcal{F}_{AF}$ félsíkban vannak. Hasonlóan, a $\displaystyle BE$, $\displaystyle CH$ és $\displaystyle DG$ egyeneseket a belső oldalukon érintő körökhöz rendelt csúcsok is egy-egy, az illető egyenesre illesztett félsík, $\displaystyle \mathcal{F}_{BE}$, $\displaystyle \mathcal{F}_{CH}$, illetve $\displaystyle \mathcal{F}_{DG}$ pontjai. A feladat megoldásához azt kell igazolnunk, hogy az $\displaystyle \mathcal{F}_{AF}$, $\displaystyle \mathcal{F}_{BE}$, $\displaystyle \mathcal{F}_{CH}$, $\displaystyle \mathcal{F}_{DG}$ félsíkoknak van egy közös $\displaystyle W$ pontja.

Legyen $\displaystyle V_1=V(\omega_1)$, $\displaystyle V_2=V(\omega_2)$, $\displaystyle V_3=V(\omega_3)$, illetve $\displaystyle V_4=V(\omega_4)$. Mivel $\displaystyle \omega_1$ és $\displaystyle \omega_3$ a belső oldalon érinti az $\displaystyle AF$ és a $\displaystyle BE$ egyenest, az $\displaystyle \mathcal{F}_{AF}$ és $\displaystyle \mathcal{F}_{BE}$ félsíkoknak $\displaystyle V_1$ és $\displaystyle V_3$ is közös pontja, ezért mindkét félsík tartalmazza a $\displaystyle V_1V_3$ szakaszt. Hasonlóan, az $\displaystyle \mathcal{F}_{CH}$ és a $\displaystyle \mathcal{F}_{DG}$ félsík is tartalmazza a $\displaystyle V_2V_4$ szakaszt.

Most megmutatjuk, hogy a $\displaystyle V_1V_3$ és $\displaystyle V_2V_4$ szakaszok egy síkban fekszenek. Illesszük az $\displaystyle \Omega_1$ körre a $\displaystyle \mathcal{G}_1$, az $\displaystyle \Omega_2$-re a $\displaystyle \mathcal{G}_2$ gömböt úgy, hogy ezek $\displaystyle 45^\circ$-os szögben messék az alapsíkot, $\displaystyle \mathcal{G}_1$ középpontja az alapsík fölött, $\displaystyle \mathcal{G}_2$ középpontja a sík alatt legyen. Legyen $\displaystyle \omega_i$ és $\displaystyle \Omega_1$ érintési pontja $\displaystyle T_i$, az $\displaystyle \omega_i$ és $\displaystyle \Omega_2$ érintési pontja pedig $\displaystyle U_i$. Az $\displaystyle \omega_i$-re emelt kúp $\displaystyle V_iT_i$ alkotója érinti $\displaystyle \mathcal{G}_1$-et, míg ugyanennek a kúpnak a $\displaystyle V_iU_i$ alkotója érinti $\displaystyle \mathcal{G}_2$-t. A $\displaystyle V_i$ csúcsból tehát ugyanolyan hosszú érintőt lehet húzni a két gömbhöz, tehát mindegyik $\displaystyle V_i$ csúcs a két gömb hatványsíkjában van.

A $\displaystyle V_1V_3$ és $\displaystyle V_2V_4$ szakaszok merőleges vetülete az ábra síkjára az $\displaystyle AF$ és a $\displaystyle BE$, illetve a $\displaystyle CH$ és $\displaystyle DG$ egyenesek középvonalai, ezek metszik az $\displaystyle AF$, $\displaystyle BE$, $\displaystyle CH$ és $\displaystyle DG$ egyenesek által meghatározott négyszög odalait, és a négyszög belsejében metszik egymást. Ezért az (egy síkban fekvő) $\displaystyle V_1V_3$ és $\displaystyle V_2V_4$ szakaszok is metszik egymást a térben. Legyen $\displaystyle W$ a két szakasz metszéspontja; ekkor tehát $\displaystyle W$ közös pontja az $\displaystyle \mathcal{F}_{AF}$, $\displaystyle \mathcal{F}_{BE}$, $\displaystyle \mathcal{F}_{CH}$, $\displaystyle \mathcal{F}_{DG}$ félsíkoknak, vagyis a $\displaystyle \kappa(W)$ kör a belső oldalán érinti az $\displaystyle AF$, $\displaystyle BE$, $\displaystyle CH$, $\displaystyle DG$ egyeneseket.

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bodor Mátyás, Forrai Boldizsár, Virág Tóbiás.

A KöMaL 2024. márciusi matematika feladatai