Problem B. 5382. (April 2024)

B. 5382. Do there exist prime numbers \(\displaystyle 2<p<q\) for which more than one third of the elements of set \(\displaystyle \{ p+1, p+2, \ldots, q-1 \}\) is a prime number?

Proposed by Bálint Hujter, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on May 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle \{ p+1, p+2, \ldots, q-1 \}\) halmaz elemeinek száma \(\displaystyle q-p-1\). Mivel \(\displaystyle 2<p<q\) prímszámok, ezért \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) is páratlanok, a \(\displaystyle \{ p+1,~ p+2,~ \ldots,~ q-1 \}\) halmaz elemei 2-nél nagyobbak, így közülük csak a páratlanok, vagyis \(\displaystyle p+2\), \(\displaystyle p+4\), \(\displaystyle \dots\), \(\displaystyle q-2\) lehetnek prímek. (Speciálisan, ha \(\displaystyle q=p+2\), akkor egyáltalán nincs a halmazban prímszám, vagyis ilyenkor nem kapunk megoldást.) A halmazba eső páratlan számok száma \(\displaystyle k:=\frac{q-p}{2}-1\). Mivel mindegyikük nagyobb \(\displaystyle p\)-nél (ami legalább 3), ezért a 3-mal oszthatók sem prímek. Egy 2 differenciájú számtani sorozatban minden harmadik elem osztható 3-mal (hiszen a \(\displaystyle 0\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 1\) maradékok ismétlődnek ciklikusan). Azt állítjuk, hogy a \(\displaystyle k\) darab páratlan elem közül így legalább \(\displaystyle (k-1)/3\) osztható 3-mal. Ez az eddigiekből világos, ha \(\displaystyle k\) osztható 3-mal vagy 1 a 3-as maradéka. Ha pedig 2 maradékot ad 3-mal osztva, akkor azért teljesül, mert a két legnagyobb páratlan elem, \(\displaystyle q-4\) és \(\displaystyle q-2\) valamelyike biztosan osztható 3-mal (hiszen a \(\displaystyle q\) prímszám nem lehet 3-mal osztható).

Így a halmazban legfeljebb \(\displaystyle k-(k-1)/3=\frac{q-p-1}{3}\) prímszám lehet, ami éppen a halmaz méretének harmada.

Tehát nincsenek olyan \(\displaystyle 2<p<q\) prímszámok, melyekre a megadott halmaz elemeinek több mint egyharmadrésze prímszám.

Statistics:

75 students sent a solution.
3 points:	Ali Richárd, Aravin Peter, Balaskó Imola, Balaskó Noémi, Baran Júlia, Bencze Mátyás, Bodor Mátyás, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Csonka Illés, Dam Soham, Danka Emma, Fehérvári Donát, Görömbey Tamás, Guthy Gábor, Holló Martin, Keresztély Zsófia, Miszori Gergő, Morvai Várkony Albert, Op Den Kelder Ábel, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Szabó 810 Levente, Szabó Imre Bence, Tamás Gellért, Török Eszter Júlia, Wágner Márton.
2 points:	23 students.
1 point:	16 students.
0 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2024