Problem B. 5383. (April 2024)

B. 5383. Cyclic quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) has the following properties: \(\displaystyle \angle BAD = 90^{\circ}\), \(\displaystyle BC = CD\) and \(\displaystyle AC = 1\). Find the area of \(\displaystyle ABCD\).

Proposed by Mihály Hujter, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on May 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Mivel \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög és \(\displaystyle B\)-nél derékszöge van, ezért \(\displaystyle C\)-nél is derékszög van és \(\displaystyle ADC \sphericalangle + CBA \sphericalangle = 180^{\circ}\).

Forgassuk el az \(\displaystyle ABCD\) négyszöget \(\displaystyle C\) körül \(\displaystyle 90^\circ\)-kal, \(\displaystyle 180^\circ\)-kal és \(\displaystyle 270^\circ\)-kal, így kapjuk rendre az \(\displaystyle A_1B_1CD_1\), \(\displaystyle A_2B_2CD_2\) és \(\displaystyle A_3B_3CD_3\) négyszögeket. A \(\displaystyle C\)-nél levő derékszögek és a \(\displaystyle BC = CD\) egyenlőség miatt \(\displaystyle D_1 = B\), \(\displaystyle D_2 = B_1\) és \(\displaystyle D_3 = B_2\), illetve \(\displaystyle B_3 = D\).

Mivel

\(\displaystyle A_1BA \sphericalangle = A_1BC \sphericalangle + CBA \sphericalangle + = ADC \sphericalangle + CBA \sphericalangle = 180^{\circ}, \)

ezért \(\displaystyle B\) az \(\displaystyle AA_1\) szakaszra esik. Hasonló okból \(\displaystyle B_1\) az \(\displaystyle A_1A_2\) szakaszra, \(\displaystyle B_2\) az \(\displaystyle A_2A_3\) szakaszra és \(\displaystyle D\) az \(\displaystyle A_3A\) szakaszra esik.

Így az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög és a három elforgatottja együtt az \(\displaystyle AA_1A_2A_3\) négyszöggé áll össze, amely ráadásul négyzet, hiszen a \(\displaystyle C\) pont körül \(\displaystyle 90^\circ\)-os forgásszimmetriája van.

Az \(\displaystyle AA_1A_2A_3\) négyzet átlója \(\displaystyle AA_1 = AC + CA_1 = 2\), tehát területe \(\displaystyle (2 \cdot 2) / 2 = 2\).

Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területe ennek negyede, azaz \(\displaystyle 1/2\).

2. megoldás. Legyen \(\displaystyle AB = a\), \(\displaystyle BC = CD = b\) és \(\displaystyle DA = d\). Ismét felhasználjuk, hogy \(\displaystyle C\)-nél is derékszög van, így mivel \(\displaystyle BCD\) egyenlő szárú derékszögű háromszög, így \(\displaystyle BD = \sqrt{2}b\).

\includegraphics[height = 8cm]abra/b53832.png

Ptolemaiosz tételét alkalmazva az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszögre:

\(\displaystyle AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA, \)

azaz

\(\displaystyle 1 \cdot (\sqrt{2} b) = a b + b d = (a+d) b, \)

következésképpen \(\displaystyle a+d = \sqrt{2}\).

Másrészt

\(\displaystyle (a+d)^2 = \underbrace{a^2 + d^2}_{BD^2 = 2b^2} + 2ad = 4 T_{BCD} + 4 T_{ABD} = 4 T_{ABCD}, \)

tehát

\(\displaystyle T_{ABCD} = \frac{(a+d)^2}{4} = \frac{(\sqrt{2})^2}{4} = \frac12. \)

Statistics:

99 students sent a solution.
3 points:	89 students.
2 points:	2 students.
1 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2024