A B. 5383. feladat (2024. április)

B. 5383. Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszögben \(\displaystyle BAD\sphericalangle = 90^{\circ}\), \(\displaystyle BC = CD\) és \(\displaystyle AC = 1\). Kiszámítandó a húrnégyszög területe.

Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.

1. megoldás. Mivel \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög és \(\displaystyle B\)-nél derékszöge van, ezért \(\displaystyle C\)-nél is derékszög van és \(\displaystyle ADC \sphericalangle + CBA \sphericalangle = 180^{\circ}\).

Forgassuk el az \(\displaystyle ABCD\) négyszöget \(\displaystyle C\) körül \(\displaystyle 90^\circ\)-kal, \(\displaystyle 180^\circ\)-kal és \(\displaystyle 270^\circ\)-kal, így kapjuk rendre az \(\displaystyle A_1B_1CD_1\), \(\displaystyle A_2B_2CD_2\) és \(\displaystyle A_3B_3CD_3\) négyszögeket. A \(\displaystyle C\)-nél levő derékszögek és a \(\displaystyle BC = CD\) egyenlőség miatt \(\displaystyle D_1 = B\), \(\displaystyle D_2 = B_1\) és \(\displaystyle D_3 = B_2\), illetve \(\displaystyle B_3 = D\).

Mivel

\(\displaystyle A_1BA \sphericalangle = A_1BC \sphericalangle + CBA \sphericalangle + = ADC \sphericalangle + CBA \sphericalangle = 180^{\circ}, \)

ezért \(\displaystyle B\) az \(\displaystyle AA_1\) szakaszra esik. Hasonló okból \(\displaystyle B_1\) az \(\displaystyle A_1A_2\) szakaszra, \(\displaystyle B_2\) az \(\displaystyle A_2A_3\) szakaszra és \(\displaystyle D\) az \(\displaystyle A_3A\) szakaszra esik.

Így az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög és a három elforgatottja együtt az \(\displaystyle AA_1A_2A_3\) négyszöggé áll össze, amely ráadásul négyzet, hiszen a \(\displaystyle C\) pont körül \(\displaystyle 90^\circ\)-os forgásszimmetriája van.

Az \(\displaystyle AA_1A_2A_3\) négyzet átlója \(\displaystyle AA_1 = AC + CA_1 = 2\), tehát területe \(\displaystyle (2 \cdot 2) / 2 = 2\).

Az \(\displaystyle ABCD\) négyszög területe ennek negyede, azaz \(\displaystyle 1/2\).

2. megoldás. Legyen \(\displaystyle AB = a\), \(\displaystyle BC = CD = b\) és \(\displaystyle DA = d\). Ismét felhasználjuk, hogy \(\displaystyle C\)-nél is derékszög van, így mivel \(\displaystyle BCD\) egyenlő szárú derékszögű háromszög, így \(\displaystyle BD = \sqrt{2}b\).

\includegraphics[height = 8cm]abra/b53832.png

Ptolemaiosz tételét alkalmazva az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszögre:

\(\displaystyle AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA, \)

azaz

\(\displaystyle 1 \cdot (\sqrt{2} b) = a b + b d = (a+d) b, \)

következésképpen \(\displaystyle a+d = \sqrt{2}\).

Másrészt

\(\displaystyle (a+d)^2 = \underbrace{a^2 + d^2}_{BD^2 = 2b^2} + 2ad = 4 T_{BCD} + 4 T_{ABD} = 4 T_{ABCD}, \)

tehát

\(\displaystyle T_{ABCD} = \frac{(a+d)^2}{4} = \frac{(\sqrt{2})^2}{4} = \frac12. \)

Statisztika:

99 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	89 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2024. áprilisi matematika feladatai