Problem B. 5384. (April 2024)

B. 5384. Prove that if \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c>0\) and \(\displaystyle a^2+b^2+c^2=abc\), then \(\displaystyle 2(a+b+c)+\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ca}+\frac{c^3}{ab} \le abc\).

Proposed by Mihály Bencze, Brasov

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az eredetivel ekvivalens egyenlőtlenséget kapunk, ha mindkét oldalt szorozzuk a pozitív \(\displaystyle abc\) szorzattal:

\(\displaystyle 2(a^2bc+ab^2c+abc^2)+a^4+b^4+c^4\leq (abc)^2.\)

A jobb oldalon a feltétel alapján \(\displaystyle abc\) helyére írjunk \(\displaystyle (a^2+b^2+c^2)\)-et, majd végezzük el a négyzetre emelést:

\(\displaystyle 2(a^2bc+ab^2c+abc^2)+a^4+b^4+c^4\leq (a^2+b^2+c^2)^2,\)

\(\displaystyle 2(a^2bc+ab^2c+abc^2)+(a^4+b^4+c^4)\leq (a^4+b^4+c^4)+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2.\)

Az egyenlőtlenséget rendezve és teljes négyzeteket kialakítva:

\(\displaystyle 0\leq a^2(b-c)^2+b^2(c-a)^2+c^2(a-b)^2.\)

Az így kapott – és az eredetivel ekvivalens – egyenlőtlenség teljesül, hiszen a jobb oldalon teljes négyzetek összege szerepel. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha mindhárom teljes négyzet 0, vagyis ha \(\displaystyle a=b=c\). Az \(\displaystyle a^2+b^2+c^2=abc\) feltétel alapján pedig a közös érték a 3: \(\displaystyle a=b=c=3\).

Statistics:

89 students sent a solution.
4 points:	76 students.
3 points:	5 students.
2 points:	4 students.
1 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2024