A B. 5384. feladat (2024. április)

B. 5384. Bizonyítsuk be, hogy ha $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c>0$ és $\displaystyle a^2+b^2+c^2=abc$, akkor

$\displaystyle 2(a+b+c)+\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab} \le abc.$

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az eredetivel ekvivalens egyenlőtlenséget kapunk, ha mindkét oldalt szorozzuk a pozitív $\displaystyle abc$ szorzattal:

$\displaystyle 2(a^2bc+ab^2c+abc^2)+a^4+b^4+c^4\leq (abc)^2.$

A jobb oldalon a feltétel alapján $\displaystyle abc$ helyére írjunk $\displaystyle (a^2+b^2+c^2)$-et, majd végezzük el a négyzetre emelést:

$\displaystyle 2(a^2bc+ab^2c+abc^2)+a^4+b^4+c^4\leq (a^2+b^2+c^2)^2,$

$\displaystyle 2(a^2bc+ab^2c+abc^2)+(a^4+b^4+c^4)\leq (a^4+b^4+c^4)+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2.$

Az egyenlőtlenséget rendezve és teljes négyzeteket kialakítva:

$\displaystyle 0\leq a^2(b-c)^2+b^2(c-a)^2+c^2(a-b)^2.$

Az így kapott – és az eredetivel ekvivalens – egyenlőtlenség teljesül, hiszen a jobb oldalon teljes négyzetek összege szerepel. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha mindhárom teljes négyzet 0, vagyis ha $\displaystyle a=b=c$. Az $\displaystyle a^2+b^2+c^2=abc$ feltétel alapján pedig a közös érték a 3: $\displaystyle a=b=c=3$.

Statisztika:

89 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	76 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. áprilisi matematika feladatai