Problem B. 5386. (April 2024)

B. 5386. Anna and Balázs play the following game: Anna tosses a fair coin 101 times, and Balázs tosses a fair coin 10 times. Anna wins, if she receives more than ten times as many heads as Balázs, otherwise Balázs wins. Find the player to whom this game is favorable.

Proposed by: Attila Sztranyák, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megmutatjuk, hogy a játék igazságos.

Jelölje Anna dobássorozatát \(\displaystyle \mathcal{A}\), Balázsét \(\displaystyle \mathcal{B}\), továbbá ezek ,,inverzeit'' (azaz azokat a sorozatokat, amelyekben a fejeket írásra, az írásokat pedig fejekre cseréljük) \(\displaystyle \mathcal{A'}\) és \(\displaystyle \mathcal{B'}\).

Azt fogjuk igazolni, hogy ha egy adott \(\displaystyle \left( \mathcal{A, B} \right)\) pár esetén Anna nyer, akkor az inverz \(\displaystyle \left( \mathcal{A', B'} \right)\) pár esetén Balázs (és fordítva). Ha ez teljesül, akkor – mivel bármely \(\displaystyle \left( \mathcal{A, B} \right)\) pár valószínűsége egyforma (a kérdéses valószínűség nyilván \(\displaystyle 2^{-111}\)) – innen következik, hogy igazságos a játék.

Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle \left( \mathcal{A, B} \right)\) pár esetén Anna nyer, továbbá legyen az \(\displaystyle \mathcal{A}\) sorozatban \(\displaystyle k\) darab fej (és így \(\displaystyle 101-k\) darab írás), míg az \(\displaystyle \mathcal{B}\) sorozatban \(\displaystyle m\) darab fej (és így \(\displaystyle 10-m\) darab írás). Mivel a feltétel alapján Anna nyer, ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle k > 10m\).

Ekkor az \(\displaystyle \mathcal{A'}\) sorozat \(\displaystyle 101-k\) darab fejet, míg a \(\displaystyle \mathcal{B'}\) sorozat \(\displaystyle 10-m\) darab fejet tartalmaz. Ezekre a (\(\displaystyle k > 10m\)) feltétel szerint \(\displaystyle 101-k < 101 -10m\) és mivel \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle m\) számok egészek, innen adódik, hogy \(\displaystyle 101-k \leq 100-10m=10 \cdot (10-m)\). Ez viszont éppen azt jelenti, hogy az inverz \(\displaystyle \left( \mathcal{A', B'} \right)\) pár esetén Balázs nyer. És éppen azt akartuk igazolni.

Vagyis a játék valóban igazságos.

Statistics:

76 students sent a solution.
5 points:	Ali Richárd, Aravin Peter, Baran Júlia, Bencze Mátyás, Bodor Mátyás, Bogdán Balázs Ákos, Bővíz Dániel, Bui Thuy-Trang Nikolett, Christ Miranda Anna, Csató Hanna Zita , Csupor Albert Dezső, Dam Soham, Erdélyi Kata, Farkas 005 Bendegúz, Fekete Aron, Fórizs Emma, Gömze Norken, Görömbey Tamás, Gyenes Károly, Hodossy Réka, Holló Martin, Horák Zsófia, Kerekes András, Keresztély Zsófia, Klement Tamás, Kovács Benedek Noel, Kökény Kristóf, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Maróti Bálint, Morvai Várkony Albert, Németh Bernát, Op Den Kelder Ábel, Pálfi András, Petrányi Lilla, Prohászka Bulcsú, Sági Mihály, Sárdinecz Dóra, Szabó 721 Sámuel, Szabó 810 Levente, Tamás Gellért, Török Eszter Júlia, Varga 511 Vivien, Veres Dorottya, Vigh 279 Zalán, Virág Tóbiás, Wágner Márton.
4 points:	6 students.
3 points:	3 students.
2 points:	1 student.
1 point:	3 students.
0 point:	15 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2024