A B. 5390. feladat (2024. május)

B. 5390. Léteznek-e olyan $\displaystyle a_0$, $\displaystyle a_1$, $\displaystyle \ldots$, $\displaystyle a_{n-1}$ páros egész számok, amelyekre az $\displaystyle x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$ polinom osztható az $\displaystyle x^2+x+1$ polinommal?

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Azt látjuk be, hogy nem léteznek ilyen páros egész számok.

Tegyük fel indirekten, hogy valamely $\displaystyle a_0,a_1,\dots, a_{n-1}$ páros egész számokra és $\displaystyle b_0,b_1,\dots,b_k$ számokra

$\displaystyle x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 = (x^2+x+1)(b_kx^k+\dots+b_1x+b_0).$

Világos, hogy ekkor $\displaystyle k=n-2$ és $\displaystyle b_k=1$. Legyen $\displaystyle 0\leq t\leq k$ a legkisebb olyan index, amelyre $\displaystyle b_t$ nem páros egész szám (tehát vagy nem egész, vagy páratlan egész). (A $\displaystyle k$ index ilyen, így $\displaystyle t$ jóldefiniált.) Tekintsük a jobb oldalon álló $\displaystyle (x^2+x+1)(b_kx^k+\dots+b_1x+b_0)$ szorzatban $\displaystyle x^t$ együtthatóját. Ez $\displaystyle b_t+b_{t-1}+b_{t-2}$ (legyen $\displaystyle b_{-1}=b_{-2}:=0$). A $\displaystyle t$ index definíciója alapján $\displaystyle b_{t-1}$ és $\displaystyle b_{t-2}$ páros egész számok (ez akkor is érvényes, ha $\displaystyle t=0$ vagy $\displaystyle t=1$), $\displaystyle b_t$ viszont nem az, és így $\displaystyle x^t$ együtthatója sem lehet páros egész szám. Mivel $\displaystyle t\leq k\leq n-2$, ez ellentmond annak, hogy $\displaystyle x^t$ együtthatója, vagyis $\displaystyle a_t$ páros egész szám. Ellentmondásra jutottunk, amivel igazoltuk, hogy nem léteznek ilyen $\displaystyle a_0,a_1,\dots,a_{n-1}$ páros egész számok.

Megjegyzés. Ha az $\displaystyle f,g,h$ polinomokra $\displaystyle f(x)=g(x)h(x)$, továbbá $\displaystyle f$ és $\displaystyle g$ egész együtthatósak és $\displaystyle g$ főegyütthatója 1, akkor $\displaystyle h$ is egész együtthatós. Erre az ismert állításra hivatkozva a megoldás azzal is kezdhető, hogy $\displaystyle b_k,\dots,b_1,b_0$ egészek. Innen a paritásuk vizsgálatával sokféleképpen igazolható a feladat állítása.

Statisztika:

64 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Ali Richárd, Aravin Peter, Baran Júlia, Bencze Mátyás, Blaskovics Ádám, Bodor Mátyás, Bővíz Dániel, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Csonka Illés, Csupor Albert Dezső, Dam Soham, Dulácska Dániel, Erdélyi Kata, Fehérvári Donát, Fórizs Emma, Guthy Gábor, Gyenes Károly, Hodossy Réka, Holló Martin, Jármai Roland, Juhász-Molnár Mirkó, Kerekes András, Keresztély Zsófia, Klement Tamás, Kővágó Edit Gréta, Op Den Kelder Ábel, Ozsváth Botond, Petrányi Lilla, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Szabó Imre Bence, Szabó-Komoróczki Csenge Veronika, Tamás Gellért, Veres Dorottya, Virág Lénárd Dániel, Virág Tóbiás, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2024. májusi matematika feladatai