Problem B. 5391. (May 2024)

B. 5391. Let \(\displaystyle C\) be a point on a circle with unit diameter \(\displaystyle AB\). Let points \(\displaystyle D\) and \(\displaystyle E\) be chosen on line segment \(\displaystyle AB\) such that \(\displaystyle BD = BC\) and \(\displaystyle AE = AC\). Find the smallest possible value of \(\displaystyle AD^2 + DE^2 + EB^2\).

 (Proposed by József Szoldatics, Budapest)

(4 pont)

Deadline expired on June 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje (a szokásos módon) \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) (esetleg elfajuló) szakaszok hosszát \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle a\). Ekkor \(\displaystyle AD=1-BD=1-BC=1-a\), hasonlóan \(\displaystyle BE=1-AE=1-AC=1-b\) és \(\displaystyle DE=1-AD-BE=1-(1-a)-(1-b)=a+b-1\). A feladat feltételei szerint teljesül \(\displaystyle 0 \leq a,b \leq 1\), valamint Pitagorasz tétele alapján \(\displaystyle a^2+b^2=1\).

A minimalizálandó \(\displaystyle AD^2 + DE^2 + EB^2\) kifejezésbe behelyettesítve, kifejtve és összevonva: \(\displaystyle AD^2 + DE^2 + EB^2=(1-a)^2+(a+b-1)^2+(1-b)^2=5-4a-4b+2ab\), így ennek az összegnek a minimumát keressük.

Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle a^2+b^2=1\) feltétel miatt \(\displaystyle (2-a-b)^2=a^2+b^2+4+2ab-4a-4b=5+2ab-4a-4b\) éppen a kérdéses összeggel egyezik meg, azaz \(\displaystyle (2-a-b)^2\) minimalizálandó. Mivel \(\displaystyle a,b \leq 1\), így \(\displaystyle (2-a-b) \geq 0\), továbbá az \(\displaystyle x^2\) függvény a nemnegatív számokon szigorú monoton növekvő, ezért \(\displaystyle (2-a-b)^2\)-nek pontosan akkor van minimuma, ha \(\displaystyle (2-a-b)\) a lehető legkisebb, azaz az \(\displaystyle (a+b)\) összeg a lehető legnagyobb.

Innen például a számtani és a négyzetes közepek közötti összefüggés alapján \(\displaystyle S(a;b) = \dfrac{a+b}{2} \leq \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=N(a;b)\), azaz \(\displaystyle a+b \leq \sqrt{2}\), és az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle a=b=\sqrt{\frac{1}{2}}\).

Azaz \(\displaystyle AD^2 + DE^2 + EB^2\) minimuma \(\displaystyle (2-\sqrt{2})^2=6-4 \sqrt{2} \approx 0,34314575\), és ezt pontosan akkor veszi fel, ha \(\displaystyle AC=BC=\sqrt{\frac{1}{2}}\), azaz az \(\displaystyle ABC\) háromszög egyenlő szárú, derékszögű háromszög.

Statistics:

78 students sent a solution.
4 points:	Ali Richárd, Aravin Peter, Baran Júlia, Bencze Mátyás, Bodor Mátyás, Bogdán Balázs Ákos, Bővíz Dániel, Bui Thuy-Trang Nikolett, Christ Miranda Anna, Csató Hanna Zita , Csonka Illés, Dam Soham, Dulácska Dániel, Erdélyi Kata, Farkas Ábel, Fehérvári Donát, Fórizs Emma, Gömze Norken, Guthy Gábor, Holló Martin, Jármai Roland, Kerekes András, Klement Tamás, Kovács Barnabás, Kovács Benedek Noel, Miszori Gergő, Pázmándi József Áron, Prohászka Bulcsú, Puppi Barna, Romaniuc Albert-Iulian, Sági Mihály, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Szabó 810 Levente, Szabó Imre Bence, Szabó-Komoróczki Csenge Veronika, Ta Minh Khoa, Tamás Gellért, Tömböly 299 Áron, Varga 511 Vivien, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Virág Tóbiás, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
3 points:	10 students.
2 points:	6 students.
1 point:	7 students.
0 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2024