A B. 5391. feladat (2024. május)

B. 5391. Az egységnyi \(\displaystyle AB\) átmérőjű körvonalon kijelölünk egy \(\displaystyle C\) pontot. Ezután az \(\displaystyle AB\) szakaszon felvesszük a \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) pontokat úgy, hogy \(\displaystyle BD=BC\) és \(\displaystyle AE=AC\). Határozzuk meg \(\displaystyle AD^2+DE^2+EB^2\) lehetséges legkisebb értékét.

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje (a szokásos módon) \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) (esetleg elfajuló) szakaszok hosszát \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle a\). Ekkor \(\displaystyle AD=1-BD=1-BC=1-a\), hasonlóan \(\displaystyle BE=1-AE=1-AC=1-b\) és \(\displaystyle DE=1-AD-BE=1-(1-a)-(1-b)=a+b-1\). A feladat feltételei szerint teljesül \(\displaystyle 0 \leq a,b \leq 1\), valamint Pitagorasz tétele alapján \(\displaystyle a^2+b^2=1\).

A minimalizálandó \(\displaystyle AD^2 + DE^2 + EB^2\) kifejezésbe behelyettesítve, kifejtve és összevonva: \(\displaystyle AD^2 + DE^2 + EB^2=(1-a)^2+(a+b-1)^2+(1-b)^2=5-4a-4b+2ab\), így ennek az összegnek a minimumát keressük.

Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle a^2+b^2=1\) feltétel miatt \(\displaystyle (2-a-b)^2=a^2+b^2+4+2ab-4a-4b=5+2ab-4a-4b\) éppen a kérdéses összeggel egyezik meg, azaz \(\displaystyle (2-a-b)^2\) minimalizálandó. Mivel \(\displaystyle a,b \leq 1\), így \(\displaystyle (2-a-b) \geq 0\), továbbá az \(\displaystyle x^2\) függvény a nemnegatív számokon szigorú monoton növekvő, ezért \(\displaystyle (2-a-b)^2\)-nek pontosan akkor van minimuma, ha \(\displaystyle (2-a-b)\) a lehető legkisebb, azaz az \(\displaystyle (a+b)\) összeg a lehető legnagyobb.

Innen például a számtani és a négyzetes közepek közötti összefüggés alapján \(\displaystyle S(a;b) = \dfrac{a+b}{2} \leq \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=N(a;b)\), azaz \(\displaystyle a+b \leq \sqrt{2}\), és az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle a=b=\sqrt{\frac{1}{2}}\).

Azaz \(\displaystyle AD^2 + DE^2 + EB^2\) minimuma \(\displaystyle (2-\sqrt{2})^2=6-4 \sqrt{2} \approx 0,34314575\), és ezt pontosan akkor veszi fel, ha \(\displaystyle AC=BC=\sqrt{\frac{1}{2}}\), azaz az \(\displaystyle ABC\) háromszög egyenlő szárú, derékszögű háromszög.

Statisztika:

78 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ali Richárd, Aravin Peter, Baran Júlia, Bencze Mátyás, Bodor Mátyás, Bogdán Balázs Ákos, Bővíz Dániel, Bui Thuy-Trang Nikolett, Christ Miranda Anna, Csató Hanna Zita , Csonka Illés, Dam Soham, Dulácska Dániel, Erdélyi Kata, Farkas Ábel, Fehérvári Donát, Fórizs Emma, Gömze Norken, Guthy Gábor, Holló Martin, Jármai Roland, Kerekes András, Klement Tamás, Kovács Barnabás, Kovács Benedek Noel, Miszori Gergő, Pázmándi József Áron, Prohászka Bulcsú, Puppi Barna, Romaniuc Albert-Iulian, Sági Mihály, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Szabó 810 Levente, Szabó Imre Bence, Szabó-Komoróczki Csenge Veronika, Ta Minh Khoa, Tamás Gellért, Tömböly 299 Áron, Varga 511 Vivien, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Virág Tóbiás, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. májusi matematika feladatai