Problem B. 5393. (May 2024)

B. 5393. Let \(\displaystyle f\) be a real function (that is, a real-valued function of a real variable) satisfying \(\displaystyle \left|f(x+y+z)+\sin x+\sin y+\sin z \right|\le 3\), for all \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\in \mathbb{R}\). Prove that \(\displaystyle |f(x)-\sin x|\le 1\) for all \(\displaystyle x\in \mathbb{R}\).

(Proposed by Mihály Bencze, Brasov)

(4 pont)

Deadline expired on June 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feltételben írjunk \(\displaystyle x\) helyére \(\displaystyle (x-\pi)\)-t és legyen \(\displaystyle y=z=\pi/2\). Ekkor azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle |f(x-\pi+\pi/2+\pi/2)+\sin(x-\pi)+\sin (\pi/2)+\sin (\pi/2)|\leq 3,\)

vagyis

\(\displaystyle |f(x)-\sin x +2|\leq 3,\)

amiből \(\displaystyle f(x)-\sin x+2\leq 3\) alapján \(\displaystyle f(x)-\sin x\leq 1\).

Ehhez hasonlóan, most írjunk a feltételben \(\displaystyle x\) helyére \(\displaystyle (x+\pi)\)-t és legyen \(\displaystyle y=z=-\pi/2\). Ekkor azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle |f(x+\pi-\pi/2-\pi/2)+\sin(x+\pi)+\sin (-\pi/2)+\sin (-\pi/2)|\leq 3,\)

vagyis

\(\displaystyle |f(x)-\sin x -2|\leq 3,\)

amiből \(\displaystyle f(x)-\sin x-2\geq -3\) alapján \(\displaystyle f(x)-\sin x\geq -1\).

Azt kaptuk tehát, hogy \(\displaystyle -1\leq f(x)-\sin x\leq 1\), vagyis igazoltuk az \(\displaystyle |f(x)-\sin x|\leq 1\) egyenlőtlenséget.

Statistics:

44 students sent a solution.
4 points:	Ali Richárd, Aravin Peter, Baran Júlia, Baráth Borbála, Bencze Mátyás, Bodor Mátyás, Csató Hanna Zita , Csupor Albert Dezső, Diaconescu Tashi, Erdélyi Kata, Fórizs Emma, Forrai Boldizsár, Görömbey Tamás, Gyenes Károly, Hodossy Réka, Holló Martin, Kerekes András, Keresztély Zsófia, Klement Tamás, Kovács Benedek Noel, Op Den Kelder Ábel, Pázmándi József Áron, Pletikoszity Martin, Sárdinecz Dóra, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Szabó 810 Levente, Tamás Gellért, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
2 points:	4 students.
1 point:	6 students.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2024