A B. 5393. feladat (2024. május)

B. 5393. Legyen az \(\displaystyle f\) olyan valós-valós függvény, amelyre

\(\displaystyle \left|f(x+y+z)+\sin\,x+\sin\,y+\sin\,z \right|\le 3, \quad \text{minden } x, y, z\in \mathbb{R} \text{ esetén}. \)

Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle |f(x)-\sin x|\le 1\) minden \(\displaystyle x\in \mathbb{R}\) esetén.

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A feltételben írjunk \(\displaystyle x\) helyére \(\displaystyle (x-\pi)\)-t és legyen \(\displaystyle y=z=\pi/2\). Ekkor azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle |f(x-\pi+\pi/2+\pi/2)+\sin(x-\pi)+\sin (\pi/2)+\sin (\pi/2)|\leq 3,\)

vagyis

\(\displaystyle |f(x)-\sin x +2|\leq 3,\)

amiből \(\displaystyle f(x)-\sin x+2\leq 3\) alapján \(\displaystyle f(x)-\sin x\leq 1\).

Ehhez hasonlóan, most írjunk a feltételben \(\displaystyle x\) helyére \(\displaystyle (x+\pi)\)-t és legyen \(\displaystyle y=z=-\pi/2\). Ekkor azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle |f(x+\pi-\pi/2-\pi/2)+\sin(x+\pi)+\sin (-\pi/2)+\sin (-\pi/2)|\leq 3,\)

vagyis

\(\displaystyle |f(x)-\sin x -2|\leq 3,\)

amiből \(\displaystyle f(x)-\sin x-2\geq -3\) alapján \(\displaystyle f(x)-\sin x\geq -1\).

Azt kaptuk tehát, hogy \(\displaystyle -1\leq f(x)-\sin x\leq 1\), vagyis igazoltuk az \(\displaystyle |f(x)-\sin x|\leq 1\) egyenlőtlenséget.

Statisztika:

44 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ali Richárd, Aravin Peter, Baran Júlia, Baráth Borbála, Bencze Mátyás, Bodor Mátyás, Csató Hanna Zita , Csupor Albert Dezső, Diaconescu Tashi, Erdélyi Kata, Fórizs Emma, Forrai Boldizsár, Görömbey Tamás, Gyenes Károly, Hodossy Réka, Holló Martin, Kerekes András, Keresztély Zsófia, Klement Tamás, Kovács Benedek Noel, Op Den Kelder Ábel, Pázmándi József Áron, Pletikoszity Martin, Sárdinecz Dóra, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Szabó 810 Levente, Tamás Gellért, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2024. májusi matematika feladatai