A B. 5395. feladat (2024. május)

B. 5395. Jelölje egy $\displaystyle k$ pozitív egész pozitív osztóinak számát $\displaystyle d(k)$, továbbá legyen $\displaystyle 1<n$ egész szám. Melyik összeg a nagyobb, $\displaystyle d(2)+d(4)+\dots+d(2n)$ vagy $\displaystyle (d(1)+d(3)+\dots+d(2n-1))+(d(1)+d(2)+\dots+d(n))$?

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen

$\displaystyle S:=\sum\limits_{i=1}^{2n}(-1)^id(i)=d(2n)-d(2n-1)+d(2n-2)-d(2n-3)+\dots+d(2)-d(1).$

Az $\displaystyle S$ alternáló összeget kiszámolhatjuk úgy is, hogy az $\displaystyle 1,2,\dots,2n$ számok (pozitív) osztóira nézzük meg, összességében melyiket hányszor számoljuk. Legyen tehát $\displaystyle 1\leq k\leq 2n$ tetszőleges. Ha $\displaystyle k=2K$ páros, akkor páratlan többszöröse nincsen, így az $\displaystyle S$ összegben csak pozitív előjellel számoljuk, éspedig összesen $\displaystyle \lfloor \frac{2n}{2K} \rfloor = \lfloor \frac{n}{K} \rfloor$-szer. Így $\displaystyle S$-hez a páros osztók hozzájárulása $\displaystyle \sum\limits_{K=1}^n \lfloor \frac{n}{K} \rfloor$. Vegyük észre, hogy ez éppen annyi, mint $\displaystyle d(1)+d(2)+\dots+d(n)$, hiszen utóbbi összeghez egy $\displaystyle 1\leq K\leq n$ osztó hozzájárulása összesen szintén éppen $\displaystyle \lfloor \frac{n}{K} \rfloor$.

Legyen most $\displaystyle 1\leq k\leq 2n$ páratlan. Ekkor $\displaystyle k$ többszörösei felváltva páratlan és páros számok, ha $\displaystyle 2n$-ig páros sok többszöröse van, akkor $\displaystyle S$-hez 0-val járul hozzá, ha pedig páratlan sok, akkor $\displaystyle (-1)$-gyel (hiszen a többöszörösök, vagyis $\displaystyle k$, $\displaystyle 2k$, $\displaystyle 3k$, $\displaystyle \dots$ közül az első páratlan).

Az eddigiek alapján $\displaystyle S-(d(1)+d(2)+\dots+d(n))$ éppen az olyan $\displaystyle 1\leq k\leq 2n$ páratlan számok számának $\displaystyle (-1)$-szerese, melyeknek $\displaystyle 2n$-ig páratlan sok többszörösük van, vagyis amelyekre $\displaystyle \lfloor \frac{2n}{k} \rfloor$ páratlan. Világos, hogy $\displaystyle k=2n-1$ például ilyen, hiszen $\displaystyle 2(2n-1)=4n-2>2n$ az $\displaystyle n>1$ feltétel miatt. Így $\displaystyle S-(d(1)+d(2)+\dots+d(n))<0$, ami éppen azt jelenti, hogy a kérdéses összegek közül a második, vagyis $\displaystyle (d(1)+d(3)+\dots+d(2n-1))+(d(1)+d(2)+\dots+d(n))$ a nagyobb.

Statisztika:

36 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Aravin Peter, Bodor Mátyás, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Fekete Aron, Forrai Boldizsár, Gyenes Károly, Hodossy Réka, Holló Martin, Keresztély Zsófia, Kovács Benedek Noel, Sági Mihály, Sárdinecz Dóra, Sütő Áron, Wágner Márton.
4 pontot kapott:	Csupor Albert Dezső, Jármai Roland, Kerekes András, Lakner Hanna, Szabó 721 Sámuel, Vigh 279 Zalán.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.

A KöMaL 2024. májusi matematika feladatai