A B. 5398. feladat (2024. szeptember)

B. 5398. Az \(\displaystyle ABCD\) trapézban \(\displaystyle AB \parallel CD\) és \(\displaystyle ADC \sphericalangle - CBA \sphericalangle = 90^{\circ}\). Igazoljuk, hogy a szárak négyzetének összege egyenlő az alapok különbségének négyzetével.

Javasolta: Oláh Miklós, Szilágykraszna

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A trapéz oldalainak hosszúsága legyen \(\displaystyle AB=a\), \(\displaystyle BC=b\), \(\displaystyle CD=c\), \(\displaystyle DA=d\). A \(\displaystyle D\) ponton átmenő, \(\displaystyle BC\)-vel párhuzamos egyenesnek az \(\displaystyle AB\) alappal közös pontját jelölje \(\displaystyle E\).

Az \(\displaystyle EBCD\) négyszög szemköztes oldalai párhuzamosak lévén \(\displaystyle EBCD\) paralelogramma, ezért \(\displaystyle EB=c\), így \(\displaystyle AE=a-c\), továbbá \(\displaystyle ED=b\) és \(\displaystyle EDC\sphericalangle=CBA\sphericalangle\). Ezért \(\displaystyle ADE\sphericalangle = ADC\sphericalangle - EDC\sphericalangle = ADC\sphericalangle - CBA\sphericalangle = 90^{\circ}\). Az \(\displaystyle AD=d\), \(\displaystyle ED=b\) befogójú, \(\displaystyle AE=a-c\) átfogójú derékszögű háromszögben Pitagorasz tétele szerint \(\displaystyle d^2+b^2=(a-c)^2\).

Statisztika:

176 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	114 versenyző.
2 pontot kapott:	24 versenyző.
1 pontot kapott:	16 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	11 dolgozat.

A KöMaL 2024. szeptemberi matematika feladatai