A B. 5399. feladat (2024. szeptember)

B. 5399. Egy ötjegyű négyzetszámnak nincs $\displaystyle 9$-es számjegye. Mindegyik számjegyéhez $\displaystyle 1$-et hozzáadva ismét négyzetszámot kapunk. Melyik lehet ez a négyzetszám?

Javasolta: Kiss Géza, Csömör

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen tehát $\displaystyle a^2$ egy olyan ötjegyű négyzetszám ($\displaystyle a>0$), amelynek nincs 9-es számjegye és minden számjegyéhez 1-et hozzáadva ismét négyzetszámot, $\displaystyle b^2$-et ($\displaystyle b>0$) kapunk. Ekkor tehát $\displaystyle b^2-a^2=11111$. Az 11111 szám prímtényezős felbontása $\displaystyle 11111=41\cdot 271$. Mivel $\displaystyle b^2-a^2=(b+a)(b-a)$, ahol mindkét tényező pozitív egész szám, így vagy $\displaystyle b+a=11111$ és $\displaystyle b-a=1$, vagy $\displaystyle b+a=271$ és $\displaystyle b-a=41$. Az első esetben $\displaystyle a=(11111-1)/2=5555$ adódna, aminek a négyzete nem ötjegyű, így ez nem lehetséges. A második esetben $\displaystyle b=(271+41)/2=156$ és $\displaystyle a=(271-41)/2=115$, ami valóban megoldást ad, hiszen $\displaystyle 156^2=24336$ és $\displaystyle 115^2=13225$.

Tehát a kérdéses négyzetszám a 13225.

Statisztika:

181 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	111 versenyző.
2 pontot kapott:	42 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	9 dolgozat.

A KöMaL 2024. szeptemberi matematika feladatai