A B. 5399. feladat (2024. szeptember)

B. 5399. Egy ötjegyű négyzetszámnak nincs \(\displaystyle 9\)-es számjegye. Mindegyik számjegyéhez \(\displaystyle 1\)-et hozzáadva ismét négyzetszámot kapunk. Melyik lehet ez a négyzetszám?

Javasolta: Kiss Géza, Csömör

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen tehát \(\displaystyle a^2\) egy olyan ötjegyű négyzetszám (\(\displaystyle a>0\)), amelynek nincs 9-es számjegye és minden számjegyéhez 1-et hozzáadva ismét négyzetszámot, \(\displaystyle b^2\)-et (\(\displaystyle b>0\)) kapunk. Ekkor tehát \(\displaystyle b^2-a^2=11111\). Az 11111 szám prímtényezős felbontása \(\displaystyle 11111=41\cdot 271\). Mivel \(\displaystyle b^2-a^2=(b+a)(b-a)\), ahol mindkét tényező pozitív egész szám, így vagy \(\displaystyle b+a=11111\) és \(\displaystyle b-a=1\), vagy \(\displaystyle b+a=271\) és \(\displaystyle b-a=41\). Az első esetben \(\displaystyle a=(11111-1)/2=5555\) adódna, aminek a négyzete nem ötjegyű, így ez nem lehetséges. A második esetben \(\displaystyle b=(271+41)/2=156\) és \(\displaystyle a=(271-41)/2=115\), ami valóban megoldást ad, hiszen \(\displaystyle 156^2=24336\) és \(\displaystyle 115^2=13225\).

Tehát a kérdéses négyzetszám a 13225.

Statisztika:

181 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	111 versenyző.
2 pontot kapott:	41 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	10 dolgozat.

A KöMaL 2024. szeptemberi matematika feladatai