A B. 5401. feladat (2024. szeptember)

B. 5401. Legfeljebb mennyi lehet az \(\displaystyle mn\) szorzat értéke, ha \(\displaystyle m\), \(\displaystyle n\) és

\(\displaystyle \sqrt{25+\sqrt{n+\sqrt{m}}}+\sqrt{25-\sqrt{n+\sqrt{m}}} \)

is pozitív egész számok?

Javasolta: Sztranyák Attila, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje a \(\displaystyle k\) pozitív egész szám a \(\displaystyle \sqrt{25+\sqrt{n+\sqrt m}} + \sqrt{25-\sqrt{n+\sqrt m}}\) kifejezést. Négyzetre emelve, adódik: \(\displaystyle k^2 = 50+ 2 \sqrt{25^2-n-\sqrt m}\). Felhasználva, hogy egy egész szám gyöke pontosan akkor racionális, ha a szám négyzetszám; illetve azt, hogy pozitív irracionális szám gyöke irracionális szám; adódik, hogy \(\displaystyle 625-n-\sqrt m\) négyzetszám, illetve maga \(\displaystyle m\) is négyzetszám.

Ekkor viszont \(\displaystyle k^2\) olyan páros négyzetszám, ami 50-nél nagyobb, vagy egyenlő vele, viszont \(\displaystyle 50+2 \sqrt {25^2}=100\)-nál kisebb, azaz \(\displaystyle k\) csak 8 lehet.

Innen (\(\displaystyle k=8\)-at behelyettesítve és 2-vel osztva) adódik, hogy \(\displaystyle 7 = \sqrt{25^2-n-\sqrt m}\), azaz \(\displaystyle 49=625 - n - \sqrt m\) és innen \(\displaystyle 576=n+ \sqrt m\).

A számtani- és mértani közép közötti egyenlőtlenséget felhasználva: \(\displaystyle 192=\dfrac{576}{3}= \dfrac{n + \frac{\sqrt m}{2} + \frac{\sqrt m}{2}}{3} \geq \sqrt[3]{ n \cdot \frac{\sqrt m}{2} \cdot \frac{\sqrt m}{2}} = \sqrt[3]{\dfrac{ n \cdot m}{4}}\).

Az egyenlőtlenségben egyenlőség pontosan akkor van, ha a megfelelő tagok egyenlőek, azaz \(\displaystyle 192=n = \frac{\sqrt m}{2} \Rightarrow m =384^2\).

Vagyis a kérdéses szorzat lehetséges legnagyobb értéke \(\displaystyle n=192\) és \(\displaystyle m=384^2=147456\) esetén adódik, és ekkor a maximum: \(\displaystyle 192 \cdot 384^2 = 28311552 (=2^{20} \cdot 3^3)\).

Statisztika:

120 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	59 versenyző.
3 pontot kapott:	23 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	14 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. szeptemberi matematika feladatai