A B. 5407. feladat (2024. október)

B. 5407. Melyek azok az $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$ és $\displaystyle d$ pozitív egész számok, amelyekre teljesül, hogy

$\displaystyle \dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b}=\dfrac{d}{c}\quad\text{és}\quad\dfrac{a+c}{2}=b+1?$

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A feltételek alapján (bevezetve a mértani sorozat hányadosára a $\displaystyle q \neq 0$ betűt) $\displaystyle a; b= a \cdot q; c=a \cdot q^2$ és $\displaystyle d=a \cdot q^3$ egy mértani sorozat egymást követő tagjai.

Az $\displaystyle \dfrac{a+c}{2} = b+1$ feltételbe behelyettesítve: $\displaystyle \dfrac{a(1+q^2)}{2} = aq+1 \Longrightarrow q^2a-2aq+a-2=0 \Longrightarrow q_{1;2}=\dfrac{2 a \pm \sqrt{8a}}{2a}$ adódik.

Mivel a számok egészek (és így a $\displaystyle q$ hányados racionális), a fenti egyenlet $\displaystyle D=8a$ diszkriminánsa négyzetszám, és így $\displaystyle a=2n^2$ alakú (ahol $\displaystyle n \neq 0$ egész). Ezt visszahelyettesítve: $\displaystyle q_{1;2}=\dfrac{4n^2 \pm 4n}{4n^2} = \dfrac{n \pm 1}{n}$.

Innen $\displaystyle b,c$ és $\displaystyle d$ értékeire ($\displaystyle q$ értékétől függően) két-két lehetőség van: $\displaystyle b=2n(n \pm 1); c=2(n \pm 1)^2$ és $\displaystyle d=\dfrac{2(n \pm 1)^2}{n}$. Ez utóbbi alapján mivel $\displaystyle n$ és $\displaystyle (n \pm 1)$ relatív prímek és a számok pozitívak, $\displaystyle n=1$, vagy $\displaystyle n=2$ lehet csak.

Behelyettesítve a négy lehetőséget, az $\displaystyle (a;b;c;d)$ rendezett számnégyes a következő lehet: $\displaystyle (2;4;8;16)$, $\displaystyle (8;12;18;27)$ és $\displaystyle (8;4;2;1)$ (az $\displaystyle n=1$ és a $\displaystyle q=\dfrac{n - 1}{n} = 0$ nem ad megoldást.)

Statisztika:

133 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	54 versenyző.
3 pontot kapott:	20 versenyző.
2 pontot kapott:	34 versenyző.
1 pontot kapott:	10 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	3 dolgozat.

A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai