A B. 5408. feladat (2024. október)

B. 5408. Egy háromszög egyik oldala számtani közepe a másik kettőnek. Bizonyítandó, hogy ezen középső oldalt kettévágó szögfelező hossza \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)-szerese a másik két oldal mértani közepének.

Javasolta: Hujter Mihály (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalait jelölje \(\displaystyle BC=a\), \(\displaystyle AC=b\), \(\displaystyle AB=(a+b)/2\); a \(\displaystyle C\)-ből induló belső szögfelező \(\displaystyle CD=f\), \(\displaystyle BD=k\), \(\displaystyle AD=l\) az ábra szerint. A feladat feltétele: \(\displaystyle k+l= \dfrac{a+b}{2}\).

A belső szögfelezővel kapcsolatos ismert összefüggések: \(\displaystyle \dfrac{k}{l} = \dfrac{a}{b}\) és \(\displaystyle f^2 = ab - kl\). Az első összefüggésből \(\displaystyle k=\dfrac{a}{b}\cdot l\), így

\(\displaystyle \dfrac{a+b}{2} = k+l = \dfrac{a}{b}\cdot l + l = \dfrac{a+b}{b}\cdot l, \)

amiből \(\displaystyle l = \dfrac{b}{2}\), ezért \(\displaystyle k = k+l - l = \dfrac{a+b}{2} - \dfrac{b}{2} = \dfrac{a}{2}\). Tehát valóban

\(\displaystyle f^2 = ab - kl = ab - \dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{b}{2} = \dfrac{3}{4}ab, \)

azaz \(\displaystyle f = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{ab}\).

Statisztika:

A B. 5408. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai