A B. 5409. feladat (2024. október)

B. 5409. A magyar kártya minden lapjának van színe és van értéke. Bármelyik lap színe lehet „piros”, „tök”, „zöld” és „makk”, és bármelyik lap értéke lehet „VII”, „VIII”, „IX”, „X”, „alsó”, „felső”, „király” vagy „ász”. A kártyacsomag lapjai között minden lehetséges szín-érték párosítás előfordul. A 32 lapból álló kártyacsomag lapjait véletlenszerűen letesszük egy 4 sorból és 8 oszlopból álló elrendezésbe. Legyen \(\displaystyle A\) az az esemény, hogy nincs olyan oszlop, amelyben két lap színe megegyezik, \(\displaystyle B\) pedig az az esemény, hogy nincs olyan sor, amelyben két lap értéke megegyezik. Melyik esemény valószínűsége nagyobb?

Javasolta: Bertalan Zoltán (Békéscsaba)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

1. megoldás. Külön-külön kiszámítjuk az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle B\) esemény valószínűségét.

Összesen \(\displaystyle 32!\)-féleképpen helyezhetjük el a lapokat, mind egyenlő esélyű (hiszen véletlenszerűen helyeztük el a kártyákat).

Először számoljuk meg, hogy ezek közül hány esetben teljesül az \(\displaystyle A\) esemény. Az első oszlopba kerülő lapok halmaza \(\displaystyle 8^4\)-féleképpen válaszható ki (hiszen mindegyik színből 8 lap van, melyek közül egyet-egyet választunk). A második oszlopba kerülő lapok halmaza már csak \(\displaystyle 7^4\)-féleképpen választható ki (hiszen minden színből egy-egy lap már az első oszlopba került). Hasonlóképpen a harmadik oszlopba \(\displaystyle 6^4\)-féleképpen, általában a \(\displaystyle k\)-adik oszlopba \(\displaystyle (9-k)^4\)-féleképpen válaszható ki az oda kerülő, négy különböző színű lap halmaza.

Mind a 8 oszlopra igaz, hogy az oda kiválasztott 4 különböző színű lap \(\displaystyle 4!\)-féle sorrendben tehető le az adott oszlopba. Tehát a kedvező esetek száma:

\(\displaystyle 8^4 \cdot 7^4 \cdot 6^4 \cdot 5^4 \cdot 4^4 \cdot 3^4 \cdot 2^4 \cdot 1^4 \cdot (4!)^8 = (8!)^4 \cdot (4!)^8, \)

így az \(\displaystyle A\) esemény valószínűsége:

\(\displaystyle P(A) = \frac{(8!)^4 \cdot (4!)^8}{32!}. \)

Lényegében ugyanilyen módszerrel kiszámítható a \(\displaystyle B\) eseményt teljesítő elrendezések száma is. Az első sorba kerülő lapok halmaza \(\displaystyle 4^8\)-féleképpen választható ki (hiszen mind a 8-féle érték mindegyikéből egyet-egyet kell választanunk, és 4 lap van minden lehetséges értékből). A második sorba kerülő lapok már csak \(\displaystyle 3^8\)-féleképpen, a harmadik sorba kerülők \(\displaystyle 2^8\)-féleképpen választhatók ki, és ezzel az utolsó sorba kerülő lapok halmaza is meghatározott (azaz \(\displaystyle 1 = 1^8\)-féle lehet).

Mind a 4 sorra igaz, hogy az oda kiválasztott 8 lap külön-külön \(\displaystyle 8!\)-féle sorrendben helyezhető el az adott sorban. Tehát a kedvező esetek száma:

\(\displaystyle 4^8 \cdot 3^8 \cdot 2^8 \cdot 1^8 \cdot (8!)^4 = (8!)^4 \cdot (4!)^8, \)

így a \(\displaystyle B\) esemény valószínűsége:

\(\displaystyle P(B) = \frac{(8!)^4 \cdot (4!)^8}{32!}, \)

éppen megegyezik az \(\displaystyle A\) esemény valószínűségével. ínűsége megegyezik.

Megjegyzés. Anélkül is megállapítható, hogy az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle B\) események valószínűsége megegyezik, hogy ténylegesen kiszámítanánk ezeket a valószínűségeket. Részletekért lásd a nyomtatott lap valamelyik későbbi számát.

Statisztika:

A B. 5409. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai