A B. 5411. feladat (2024. október)

B. 5411. Mutassuk meg, hogy minden $\displaystyle n\ge 2$ pozitív egész szám esetén

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n^2-1} \left[ \sqrt{k} \right]^2=\frac{(n-1)n(3n^2-n-1)}{6}.$

Az $\displaystyle [x]$ az $\displaystyle x$ valós szám egészrészét jelenti.

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A megoldást $\displaystyle n$-re vonatkozó indukcióval bizonyítjuk. Ha $\displaystyle n=2$, akkor az egyenlet mindkét oldalának értéke 3, az állítás teljesül.

Most tegyük fel, hogy $\displaystyle n\geq 2$-re már igazoltuk az állítást, és lássuk be $\displaystyle (n+1)$-re is. A bal oldalon az új tagok $\displaystyle k=n^2,n^2+1,\dots,(n+1)^2-1$ értékekhez tartoznak. Ezekre $\displaystyle [\sqrt k]=n$, így az új tagok mindegyike $\displaystyle n^2$, számuk $\displaystyle (n+1)^2-n^2=2n+1$, így összegük $\displaystyle n^2(2n+1)$. Ezért az indukciós feltevést használva:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{(n+1)^2-1} \left[ \sqrt{k} \right]^2=\frac{(n-1)n(3n^2-n+1)}{6}+n^2(2n+1)=\frac{n}{6}\cdot(3n^3-4n^2+1+12n^2+6n)=\frac{n(n+1)(3(n+1)^2-(n+1)-1)}{6},$

amivel az indukciós lépést igazoltuk.

Statisztika:

107 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	93 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai