A B. 5414. feladat (2024. november)

B. 5414. Adott az $\displaystyle ABCD$ téglalap és a $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$ pontok úgy, hogy $\displaystyle ABP$ körülírt körének középpontja $\displaystyle Q$, míg $\displaystyle BCQ$ körülírt körének középpontja $\displaystyle P$. Számítsuk ki a $\displaystyle PDQ$ szöget.

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. (javított változat) A feltételek szerint $\displaystyle BQ = PQ$ ill. $\displaystyle PQ = PB$; tehát $\displaystyle BPQ$ egy szabályos háromszög. Az is könnyen látható, hogy a $\displaystyle P$ pontnak $\displaystyle BC$ (és $\displaystyle DA$), míg a $\displaystyle Q$ pontnak $\displaystyle AB$ (és $\displaystyle CD$) felezőmerőlegesén kell lennie.

A $\displaystyle BCQ$ köré írt körben $\displaystyle BPQ \sphericalangle = 60^\circ$ középponti szög, tehát a $\displaystyle QCB \sphericalangle$ kerületi szögnek kétféle értéke lehet

• $\displaystyle 30^\circ$, ha $\displaystyle C$ a $\displaystyle QB$ húr egyenesének $\displaystyle P$-vel azonos oldalán van (1. ábra);
• $\displaystyle 150^\circ$, ha $\displaystyle C$ a $\displaystyle QB$ húr egyenesének $\displaystyle P$-vel ellentétes oldalán van (2. ábra).





Tehát (irányított szögekkel számolva)

$\displaystyle DCQ \sphericalangle = DCB \sphericalangle - QCB \sphericalangle = \pm 60\circ$

Így $\displaystyle CDQ$ háromszög is szabályos kell legyen, hiszen van egy 60 fokos szöge és egyenlő szárú ($\displaystyle DQ = CQ$, mivel $\displaystyle Q$ rajta van $\displaystyle DC$ felezőmerőlegesén). Az feladat logikai szimmetriája miatt ugyanígy megkaphatjuk, hogy az $\displaystyle ADP$ háromszög is szabályos.

A három szabályos háromszög ($\displaystyle BPQ \triangle$, $\displaystyle ADP\triangle$, $\displaystyle CDQ\triangle$) és a téglalapban teljesülő $\displaystyle AB=CD$ és $\displaystyle BC = DA$ egyenlőségek miatt:

$\displaystyle BP = QP = QB \\ PA = PD = BC \\ AB = DQ = CQ$

Ebből következően

$\displaystyle ABP \triangle \cong DQP \triangle \cong CQB \triangle,$

és így $\displaystyle PDQ \sphericalangle = BCQ \sphericalangle$, amelyről már megállapítottuk, hogy $\displaystyle 30^\circ$ vagy $\displaystyle 150^\circ$ lehet. Mindkét eset lehetséges is, mint ábráink mutatják.

(Az ábrákon a $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$ pontokat úgy vettük fel, hogy $\displaystyle DAP$ és $\displaystyle CDQ$ azonos körüljárású szabályos háromszögek, ilyenkor könnyen ellenőrizhetően teljesül a feladat összes feltétele.)

Statisztika:

96 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Blaskovics Ádám, Bogdán Balázs Ákos, Bui Thuy-Trang Nikolett, Guthy Gábor, Hajba Milán, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sha Jingyuan, Török Eszter Júlia, Virág Lénárd Dániel.
2 pontot kapott:	69 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai