Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 5414. feladat (2024. november)

B. 5414. Adott az \(\displaystyle ABCD\) téglalap és a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) pontok úgy, hogy \(\displaystyle ABP\) körülírt körének középpontja \(\displaystyle Q\), míg \(\displaystyle BCQ\) körülírt körének középpontja \(\displaystyle P\). Számítsuk ki a \(\displaystyle PDQ\) szöget.

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. (javított változat) A feltételek szerint \(\displaystyle BQ = PQ\) ill. \(\displaystyle PQ = PB\); tehát \(\displaystyle BPQ\) egy szabályos háromszög. Az is könnyen látható, hogy a \(\displaystyle P\) pontnak \(\displaystyle BC\) (és \(\displaystyle DA\)), míg a \(\displaystyle Q\) pontnak \(\displaystyle AB\) (és \(\displaystyle CD\)) felezőmerőlegesén kell lennie.

A \(\displaystyle BCQ\) köré írt körben \(\displaystyle BPQ \sphericalangle = 60^\circ\) középponti szög, tehát a \(\displaystyle QCB \sphericalangle\) kerületi szögnek kétféle értéke lehet

  • \(\displaystyle 30^\circ\), ha \(\displaystyle C\) a \(\displaystyle QB\) húr egyenesének \(\displaystyle P\)-vel azonos oldalán van (1. ábra);
  • \(\displaystyle 150^\circ\), ha \(\displaystyle C\) a \(\displaystyle QB\) húr egyenesének \(\displaystyle P\)-vel ellentétes oldalán van (2. ábra).

    • Tehát (irányított szögekkel számolva)

    \(\displaystyle DCQ \sphericalangle = DCB \sphericalangle - QCB \sphericalangle = \pm 60\circ \)

    Így \(\displaystyle CDQ\) háromszög is szabályos kell legyen, hiszen van egy 60 fokos szöge és egyenlő szárú (\(\displaystyle DQ = CQ\), mivel \(\displaystyle Q\) rajta van \(\displaystyle DC\) felezőmerőlegesén). Az feladat logikai szimmetriája miatt ugyanígy megkaphatjuk, hogy az \(\displaystyle ADP\) háromszög is szabályos.

    A három szabályos háromszög (\(\displaystyle BPQ \triangle\), \(\displaystyle ADP\triangle\), \(\displaystyle CDQ\triangle\)) és a téglalapban teljesülő \(\displaystyle AB=CD\) és \(\displaystyle BC = DA\) egyenlőségek miatt:

    \(\displaystyle BP = QP = QB \\ PA = PD = BC \\ AB = DQ = CQ \)

Ebből következően

\(\displaystyle ABP \triangle \cong DQP \triangle \cong CQB \triangle, \)

és így \(\displaystyle PDQ \sphericalangle = BCQ \sphericalangle\), amelyről már megállapítottuk, hogy \(\displaystyle 30^\circ\) vagy \(\displaystyle 150^\circ\) lehet. Mindkét eset lehetséges is, mint ábráink mutatják.

(Az ábrákon a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontokat úgy vettük fel, hogy \(\displaystyle DAP\) és \(\displaystyle CDQ\) azonos körüljárású szabályos háromszögek, ilyenkor könnyen ellenőrizhetően teljesül a feladat összes feltétele.)

Statisztika:

96 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:Blaskovics Ádám, Bogdán Balázs Ákos, Guthy Gábor, Hajba Milán, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sha Jingyuan, Török Eszter Júlia, Virág Lénárd Dániel.
2 pontot kapott:70 versenyző.
1 pontot kapott:12 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai