A B. 5415. feladat (2024. november)

B. 5415. Beni, Lili és Domi egyszerre indulva \(\displaystyle 3\)-\(\displaystyle 3\) kört futnak az atlétikai pályán. A bíró sorban felírja azoknak a nevét, akik éppen befejeznek egy kört, és így végül egy kilenc névből álló listát kap. Hányféle lehet ez a lista, ha tudjuk, hogy egyszer sem fejezik be ketten a körüket egyszerre és mindhárman végig egyenletes sebességgel futnak?

Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), illetve \(\displaystyle c\), hogy Beninek, Lilinek, illetve Dominak mennyi idő szükséges egy kör teljesítéséhez. Ekkor a feltétel szerint az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 2a\), \(\displaystyle 3a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle 2b\), \(\displaystyle 3b\) és \(\displaystyle c\), \(\displaystyle 2c\), \(\displaystyle 3c\) értékek mind különbözők, a leírt sorrendet pedig ennek a 9 számnak a nagyságsorrendje határozza meg.

Azt, hogy például \(\displaystyle ia\) és \(\displaystyle jb\) (ahol \(\displaystyle 1\leq i,j\leq 3\)) közül melyik a kisebb az határozza meg, hogy \(\displaystyle a/b\) értéke \(\displaystyle j/i\)-nél kisebb, vagy nagyobb. Ha a számegyenesen ábrázoljuk az összes \(\displaystyle j/i\) értéket (\(\displaystyle 1\leq i,j\leq 3\)), akkor az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 2a\), \(\displaystyle 3a\),\(\displaystyle b\), \(\displaystyle 2b\), \(\displaystyle 3b\) lehetséges sorrendjeinek száma éppen annyi, ahány részre ezek a számegyenest felosztják, vagyis 1-gyel több, mint a számuk. (Mivel a lehetséges \(\displaystyle j/i\) arányok \(\displaystyle \frac13,\frac12, \frac23,1,\frac32,2,3\), ezért ha csak az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 2a\), \(\displaystyle 3a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle 2b\), \(\displaystyle 3b\) lehetséges sorrendjeinek számát néznénk, akkor \(\displaystyle 7+1=8\) lenne a válasz.)

A 9 szám lehetséges sorrendjeinek meghatározásához tegyük fel, hogy \(\displaystyle a<b<c\), a szimmetria alapján az így kapott sorrendek számát \(\displaystyle 3!=6\)-tal szorozva kapjuk majd a feladat kérdésére a választ. Ha csak Beni és Lili áthaladási sorrendjét nézzük, akkor az számít, hogy a \(\displaystyle b/a\) arány az \(\displaystyle \left(1,\frac32\right)\), \(\displaystyle \left(\frac32,2\right)\), \(\displaystyle (2,3)\), \(\displaystyle (3,\infty)\) intervallumok közül melyikbe esik. Ugyanígy, csak Lili és Domi áthaladási sorrendjét nézve az a kérdés, hogy a \(\displaystyle c/b\) arány az \(\displaystyle \left(1,\frac32\right)\), \(\displaystyle \left(\frac32,2\right)\), \(\displaystyle (2,3)\), \(\displaystyle (3,\infty)\) intervallumok közül melyikbe esik. Ez így \(\displaystyle 4\cdot 4=16\) lehetőség lenne, világos, hogy mindig különböző sorrendet kapunk, azonban előfordulhat, hogy hiába tudjuk, \(\displaystyle b/a\), illetve \(\displaystyle c/b\) melyik intervallumba esik, még nem egyértelmű, hogy \(\displaystyle c/a\) hova esik. Ha \(\displaystyle b/a\in (p,q)\) és \(\displaystyle c/b\in (r,s)\) (ahol \(\displaystyle (p,q)\) és \(\displaystyle (r,s)\) is az \(\displaystyle \left(1,\frac32\right)\), \(\displaystyle \left(\frac32,2\right)\), \(\displaystyle (2,3)\), \(\displaystyle (3,\infty)\) intervallumok valamelyike), akkor \(\displaystyle c/a\in (pr,qs)\), így ebben az esetben a lehetséges sorrendek száma 1-gyel több, mint ahány érték a \(\displaystyle \frac32, 2,3\) közül a \(\displaystyle (pr,qs)\) intervallumba esik. Az alábbi táblázatban számoljuk össze, hogy \(\displaystyle c/b\) hányféle intervallumba eshet, ha tudjuk, hogy \(\displaystyle b/a\) és \(\displaystyle c/b\) hova esik:

(Például, ha \(\displaystyle 1<b/a<\frac32\) és \(\displaystyle 1<c/b<\frac32\), akkor \(\displaystyle c/a\) értéke bármi lehet az \(\displaystyle \left(1,\frac94\right)\) intervallumon belül, így \(\displaystyle c/a\) értéke az \(\displaystyle \left(1,\frac32\right)\), \(\displaystyle \left(\frac32,2\right)\) és \(\displaystyle (2,3)\) intervallumokba eshet, ami 3 lehetőség.)

Tehát a lehetséges sorrendek száma \(\displaystyle a<b<c\) esetén \(\displaystyle 3+2+2+1+2+2+1+1+2+1+1+1+1+1+1+1=23\), így összesen \(\displaystyle 23\cdot 6=138\) féle lehet a lista.

Statisztika:

A B. 5415. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai