A B. 5416. feladat (2024. november)

B. 5416. Az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\) valós számokra \(\displaystyle x+y+z=8\) és \(\displaystyle xy+yz+zx=5\). Legfeljebb mekkora lehet \(\displaystyle z\)?

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle x\)-et az első egyenletből kifejezve, majd a második egyenletbe helyettesítve \(\displaystyle x=8-y-z\) és \(\displaystyle yz+(8-y-z)(y+z)=5\) adódik. Ez utóbbi egyenletből a zárójelek felbontása és rendezés után az \(\displaystyle -y^2-yz+8y+8z-z^2-5=0\) kétismeretlenes egyenletet kapjuk.

Tekintsük a bal oldalon lévő \(\displaystyle -y^2+y(8-z)+8z-z^2-5\) összeget \(\displaystyle y\)-ban másodfokú (a valós \(\displaystyle z\) paramétertől függő) polinomnak. A másodfokú polinom diszkriminánsának nemnegatívnak kell lennie, azaz \(\displaystyle D=(8-z)^2-4z^2+32z-20=-3z^2+16z+44 \geq 0\).

Az egyenlőtlenséget \(\displaystyle z\)-ben megoldva \(\displaystyle -2 \leq z \leq \frac{22}{3}\) adódik.

Azaz \(\displaystyle z\) legfeljebb \(\displaystyle \frac{22}{3}\) lehet, és ez a maximum el is érhető, \(\displaystyle x = y = \dfrac{1}{3}\) esetén.

Statisztika:

A B. 5416. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai