A B. 5416. feladat (2024. november)

B. 5416. Az $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$ valós számokra $\displaystyle x+y+z=8$ és $\displaystyle xy+yz+zx=5$. Legfeljebb mekkora lehet $\displaystyle z$?

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle x$-et az első egyenletből kifejezve, majd a második egyenletbe helyettesítve $\displaystyle x=8-y-z$ és $\displaystyle yz+(8-y-z)(y+z)=5$ adódik. Ez utóbbi egyenletből a zárójelek felbontása és rendezés után az $\displaystyle -y^2-yz+8y+8z-z^2-5=0$ kétismeretlenes egyenletet kapjuk.

Tekintsük a bal oldalon lévő $\displaystyle -y^2+y(8-z)+8z-z^2-5$ összeget $\displaystyle y$-ban másodfokú (a valós $\displaystyle z$ paramétertől függő) polinomnak. A másodfokú polinom diszkriminánsának nemnegatívnak kell lennie, azaz $\displaystyle D=(8-z)^2-4z^2+32z-20=-3z^2+16z+44 \geq 0$.

Az egyenlőtlenséget $\displaystyle z$-ben megoldva $\displaystyle -2 \leq z \leq \frac{22}{3}$ adódik.

Azaz $\displaystyle z$ legfeljebb $\displaystyle \frac{22}{3}$ lehet, és ez a maximum el is érhető, $\displaystyle x = y = \dfrac{1}{3}$ esetén.

Statisztika:

108 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	73 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai