A B. 5417. feladat (2024. november)

B. 5417. Melyik szám a nagyobb, \(\displaystyle \left(2^{1000}\right)! \quad \text{vagy} \quad 2^{1000!}\)?

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Azt fogjuk belátni, hogy \(\displaystyle 2^{1000!}\) a nagyobb.

Először is,

\(\displaystyle \left(2^{1000}\right)!=2^{1000}\cdot \left( 2^{1000}-1\right)\cdot \ldots \cdot 1< \left(2^{1000}\right)^{2^{1000}}.\)

Másrészről,

\(\displaystyle 2^{1000!}=\left(2^{1000}\right)^{999!},\)

így elegendő igazolnunk, hogy \(\displaystyle 2^{1000}<999!\), hiszen az exponenciális függvény szigorúan monoton növekedő (ha az alapja 1-nél nagyobb).

Mivel

\(\displaystyle 999!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 999>2^{997}\cdot 999>2^{997}\cdot 8=2^{1000},\)

ezért ez valóban teljesül. Tehát \(\displaystyle 2^{1000!}>\left(2^{1000}\right)!\), ahogy azt állítottuk.

Statisztika:

A B. 5417. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai