A B. 5417. feladat (2024. november)

B. 5417. Melyik szám a nagyobb, $\displaystyle \left(2^{1000}\right)! \quad \text{vagy} \quad 2^{1000!}$?

Javasolta: Szalai Máté (Szeged)

(4 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Azt fogjuk belátni, hogy $\displaystyle 2^{1000!}$ a nagyobb.

Először is,

$\displaystyle \left(2^{1000}\right)!=2^{1000}\cdot \left( 2^{1000}-1\right)\cdot \ldots \cdot 1< \left(2^{1000}\right)^{2^{1000}}.$

Másrészről,

$\displaystyle 2^{1000!}=\left(2^{1000}\right)^{999!},$

így elegendő igazolnunk, hogy $\displaystyle 2^{1000}<999!$, hiszen az exponenciális függvény szigorúan monoton növekedő (ha az alapja 1-nél nagyobb).

Mivel

$\displaystyle 999!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 999>2^{997}\cdot 999>2^{997}\cdot 8=2^{1000},$

ezért ez valóban teljesül. Tehát $\displaystyle 2^{1000!}>\left(2^{1000}\right)!$, ahogy azt állítottuk.

Statisztika:

130 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	73 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai