 |
A B. 5418. feladat (2024. november) |
B. 5418. A hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalainak hossza \(\displaystyle a, b\) és \(\displaystyle c\), körülírt körének sugara \(\displaystyle R\). Mutassuk meg, hogy
\(\displaystyle \frac{1}{-a^2+ b^2+c^2}+\frac{1}{a^2-b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}\ge \frac{1}{R^2}. \)
Milyen \(\displaystyle ABC\) háromszögre teljesül egyenlőség?
Javasolta: Kiss Géza (Csömör)
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Előzetesen jegyezzük meg, hogy a háromszög –szokásos módon– \(\displaystyle \alpha\)-val, \(\displaystyle \beta\)-val és \(\displaystyle \gamma\)-val jelölt hegyesszögeinek szögfüggvényei mind pozitívak, ezért a következő számolásokban mindig pozitív számokkal szorozzuk vagy osztjuk az egyenlőtlenségünket, annak iránya sehol nem fordul.
Írjuk át a koszinusztétel segítségével a nevezőket, és szorozzuk meg mindkét oldalt \(\displaystyle R^2\)-tel. Így a bizonyítandóval ekvivalens, hogy
\(\displaystyle \frac {R^2}{2bc \cos \alpha}+\frac {R^2}{2ac \cos \beta}+\frac {R^2}{2ab \cos \gamma}\ge 1.\)
A szinusztétel szerint \(\displaystyle R/a=1/2\sin \alpha\), \(\displaystyle R/b=1/2\sin \beta\) és \(\displaystyle R/c=1/2\sin \gamma\), ezeket beírva a megfelelő törtekbe kapjuk, hogy
\(\displaystyle \frac {1}{8\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma}+ \frac {1}{8 \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma}+ \frac {1}{8 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma}\ge 1;\)
amit végigszorova a \(\displaystyle 8\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma\) kifejezéssel, a következő – a bizonyítandóval ekvivalens – egyenlőtlenséget kapjuk:
\(\displaystyle \frac {\sin\alpha}{\cos \alpha} + \frac {\sin\beta}{\cos \beta}+ \frac {\sin\gamma}{\cos \gamma}\ge 8\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma.\)
Jól ismert, hogy egy (nem derékszögű) háromszögben \(\displaystyle \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma=\tan \alpha +\tan \beta+ \tan \gamma\). A bal oldalt eszerint átírva egyszerűsíthetünk a \(\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma\) szorzattal, s így az
\(\displaystyle \frac {1}{\cos \alpha\cos \beta\cos \gamma}\ge 8\)
egyenlőtlenséghez jutunk, amely továbbra is ekvivalens az eredetivel.
Ez az egyenlőtlenség viszont jól ismert, a számtani-mértani középegyenlőtlenség alkalmazásával következik a nevezetes \(\displaystyle \cos \alpha+ \cos \beta +\cos \gamma \le 3/2\) koszinusz-egyenlőtlenségből (lásd például itt vagy itt). Ezzel az állítást beláttuk. Egyenlőség csak szabályos háromszögre teljesül.
Statisztika:
A B. 5418. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai