A B. 5418. feladat (2024. november)

B. 5418. A hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalainak hossza \(\displaystyle a, b\) és \(\displaystyle c\), körülírt körének sugara \(\displaystyle R\). Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle \frac{1}{-a^2+ b^2+c^2}+\frac{1}{a^2-b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}\ge \frac{1}{R^2}. \)

Milyen \(\displaystyle ABC\) háromszögre teljesül egyenlőség?

Javasolta: Kiss Géza (Csömör)

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Előzetesen jegyezzük meg, hogy a háromszög –szokásos módon– \(\displaystyle \alpha\)-val, \(\displaystyle \beta\)-val és \(\displaystyle \gamma\)-val jelölt hegyesszögeinek szögfüggvényei mind pozitívak, ezért a következő számolásokban mindig pozitív számokkal szorozzuk vagy osztjuk az egyenlőtlenségünket, annak iránya sehol nem fordul.

Írjuk át a koszinusztétel segítségével a nevezőket, és szorozzuk meg mindkét oldalt \(\displaystyle R^2\)-tel. Így a bizonyítandóval ekvivalens, hogy

\(\displaystyle \frac {R^2}{2bc \cos \alpha}+\frac {R^2}{2ac \cos \beta}+\frac {R^2}{2ab \cos \gamma}\ge 1.\)

A szinusztétel szerint \(\displaystyle R/a=1/2\sin \alpha\), \(\displaystyle R/b=1/2\sin \beta\) és \(\displaystyle R/c=1/2\sin \gamma\), ezeket beírva a megfelelő törtekbe kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac {1}{8\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma}+ \frac {1}{8 \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma}+ \frac {1}{8 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma}\ge 1;\)

amit végigszorova a \(\displaystyle 8\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma\) kifejezéssel, a következő – a bizonyítandóval ekvivalens – egyenlőtlenséget kapjuk:

\(\displaystyle \frac {\sin\alpha}{\cos \alpha} + \frac {\sin\beta}{\cos \beta}+ \frac {\sin\gamma}{\cos \gamma}\ge 8\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma.\)

Jól ismert, hogy egy (nem derékszögű) háromszögben \(\displaystyle \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma=\tan \alpha +\tan \beta+ \tan \gamma\). A bal oldalt eszerint átírva egyszerűsíthetünk a \(\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma\) szorzattal, s így az

\(\displaystyle \frac {1}{\cos \alpha\cos \beta\cos \gamma}\ge 8\)

egyenlőtlenséghez jutunk, amely továbbra is ekvivalens az eredetivel.

Ez az egyenlőtlenség viszont jól ismert, a számtani-mértani középegyenlőtlenség alkalmazásával következik a nevezetes \(\displaystyle \cos \alpha+ \cos \beta +\cos \gamma \le 3/2\) koszinusz-egyenlőtlenségből (lásd például itt vagy itt). Ezzel az állítást beláttuk. Egyenlőség csak szabályos háromszögre teljesül.

Statisztika:

58 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ali Richárd, Aravin Peter, Bencze Mátyás, Bodor Ádám, Bolla Donát Andor, Chen JiaTong, Csató Hanna Zita , Dancs Bálint, Diaconescu Tashi, Fleischman Illés, Gyenes Károly, Holló Martin, Illés Dóra, Kerekes András, Kovács Benedek Noel, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Mikó Hédi Irma, Molnár István Ádám, Péter Hanna, Prohászka Bulcsú, Puppi Barna, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Vámosi Bendegúz Péter, Varga 511 Vivien, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Virág Tóbiás, Wágner Márton.
4 pontot kapott:	Bui Thuy-Trang Nikolett, Pázmándi József Áron, Pletikoszity Martin, Szilágyi Balázs , Török Eszter Júlia, Veres Dorottya, Zhai Yu Fan.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai