 |
A B. 5421. feladat (2024. november) |
B. 5421. A hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt körének középpontja \(\displaystyle I\), sugara \(\displaystyle r\), a \(\displaystyle BC\) oldalhoz írt körének középpontja \(\displaystyle I_a\), sugara \(\displaystyle r_a\), továbbá a körülírt körének sugara \(\displaystyle R\). Az \(\displaystyle II_a\) szakasz hossza \(\displaystyle r_a+R-r\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle BAC\sphericalangle=60^\circ\).
Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 2024C.
(6 pont)
A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A feladat szövegében szereplő jelöléseken kívül legyen a háromszög \(\displaystyle A\) csúcsánál fekvő szög \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle M\) a háromszög magasságpontja, továbbá \(\displaystyle F\) a Feuerbach-kör középpontja.
A megoldás során több ismert tényt fogunk bizonyítás nélkül felhasználni:
1. A Feurbach-kör sugara \(\displaystyle \frac R2\).
2. A Feuerbach-kör \(\displaystyle F\) középpontja az \(\displaystyle OM\) szakasz felezőpontja.
3. A magasságpont és az \(\displaystyle A\) csúcs távolsága: \(\displaystyle MA=2R\cos\alpha\).
4. A hozzáírt körök kívülről érintik a Feuerbach-kört, a beírt kör pedig belülről. A tétel két bizonyítását is olvashatjuk Füredi Zoltán KöMaL cikkében.
Először azt mutatjuk meg, hogy az \(\displaystyle A\)-ból induló magasság egyenese és az \(\displaystyle A\) csúcsot a körülírt kör \(\displaystyle O\) középpontjával összekötő sugár egyenese egymás tükörképei az \(\displaystyle A\)-hoz tartozó belső szögfelezőre.
Legyen az ábra szerint az \(\displaystyle A\)-hoz tartozó magasság talppontja \(\displaystyle T\), az \(\displaystyle AC\) oldal felezőpontja \(\displaystyle E\).
A \(\displaystyle BTA\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle ABT\sphericalangle=\beta\), így a másik hegyesszöge \(\displaystyle BAT\sphericalangle=BAM\sphericalangle=90^\circ-\beta\). A háromszög körülírt körét tekintve az \(\displaystyle AOC\) középponti szög kétszerese a \(\displaystyle B\)-nél fekvő kerületi szögnek. Ezt a szöget az \(\displaystyle OE\) szakasz felezi, tehát \(\displaystyle AOE\sphericalangle=\beta\). Az \(\displaystyle AOE\) derékszögű háromszögben ennek megfelelően \(\displaystyle OAE\sphericalangle=90^\circ-\beta\). Ezzel beláttuk, hogy a belső szögfelező felezi az \(\displaystyle MAO\) szöget is, \(\displaystyle MAI\sphericalangle=IAO\sphericalangle=|\frac{\alpha}{2}-90^\circ+\beta|\).
A továbbiakban tekintsük az \(\displaystyle I, F\) és \(\displaystyle I_a\) pontokat. Ezek általában egy háromszöget határoznak meg. A 4. pontban említett érintések alapján tudjuk, hogy \(\displaystyle IF=\frac R2 - r\), továbbá \(\displaystyle FI_a=\frac R2 +r_a\). Most a feltételek szerint:
\(\displaystyle IF+FI_a=\frac R2-r+\frac R2+r_a=R-r+r_a=II_a.\)
Azt kaptuk, hogy a háromszög elfajuló, az \(\displaystyle F\) pont az \(\displaystyle II_a\) szakaszon helyezkedik el. Ez viszont éppen az \(\displaystyle A\)-hoz tartozó belső szögfelező.
A Feurbach-kör középpontja ezek szerint rajta van a belső szögfelezőn, amely – ahogy korábban megmutattuk – felezi az \(\displaystyle MAO\) szöget. Lévén az \(\displaystyle F\) pont az \(\displaystyle OM\) szakasz felezőpontja ebből következik, hogy az \(\displaystyle MAO\) háromszög egyenlő szárú, \(\displaystyle AM=R\).
Végül a 3. számú állítást felhasználva:
\(\displaystyle AM=2R\cos\alpha=R, ~~\text{azaz}~~ \cos\alpha=\frac 12, \quad \alpha=60^\circ. \)
Statisztika:
A B. 5421. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai