A B. 5422. feladat (2024. december)

B. 5422. Két természetes szám egymás rokona, ha legfeljebb egy számjegyük különbözik. (Tehát rokonok például a $\displaystyle 135$ és a $\displaystyle 175$, valamint a $\displaystyle 101$ és az $\displaystyle 1$ (vagyis a $\displaystyle 001$), de a $\displaystyle 135$ és a $\displaystyle 513$ nem.) Van-e olyan szám, amelynek minden rokona összetett?

Javasolta: Lovas Márton (Budakalász)

(3 pont)

A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Igen, például az $\displaystyle n=19!+10$. Ez a szám $\displaystyle 0$-ra végződik, ezért minden olyan rokona, mely az utolsó jegyben nem tér el $\displaystyle n$-től, $\displaystyle 10$-zel osztható lesz. Az utolsó jegy megváltoztatásával a $\displaystyle 0$-t legfeljebb $\displaystyle 9$-re cserélhetjük, így a kapott szám $\displaystyle 19!+(10+k)$ lesz valamely $\displaystyle 0\leq k\leq 9$-re. Azonban a $\displaystyle 10,11,\dots,19$ mind osztja $\displaystyle 19!$-t, ezért $\displaystyle 10+k\mid 19!+(10+k)$ mindig igaz lesz. Ekkor ezen számok egyike sem lehet prím, tehát $\displaystyle n$ minden rokona összetett.

Statisztika:

127 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	96 versenyző.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2024. decemberi matematika feladatai