A B. 5423. feladat (2024. december)

B. 5423. Az \(\displaystyle x\) szám törtrészét \(\displaystyle \{x\}\) jelöli. Létezik-e olyan \(\displaystyle n\) pozitív egész szám, amelyre \(\displaystyle \left\{\sqrt{2}n\right\}\cdot \left\{\dfrac{n}{\sqrt{2}}\right\}\) racionális?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle a=\left[\sqrt2n\right]\) és \(\displaystyle b=\left[ \frac{n}{\sqrt2}\right]\) jelöléseket bevezetve a kérdéses szorzat

\(\displaystyle r:=\left\{\sqrt2n\right\}\cdot\left\{\frac{n}{\sqrt2}\right\}= \left(\sqrt2n-a\right)\left(\frac{n}{\sqrt2}-b\right)= n^2+ab-\frac{n(a+2b)}{\sqrt2}. \)

Ezt átrendezve

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}=\frac{n^2+ab-r}{n(a+2b)},\)

hiszen \(\displaystyle n\) pozitív egész volta miatt \(\displaystyle a\geq 1\) és \(\displaystyle b\geq 0\), így \(\displaystyle n(a+2b)\ne 0\). Tudjuk, hogy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle n\) egész számok, így ha \(\displaystyle r\) is racionális lenne, akkor ebből az következne, hogy az \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}\) szám is racionális, azonban ismert (és könnyen igazolható), hogy irracionális. Így \(\displaystyle r\) irracionális.

Tehát nem létezik olyan \(\displaystyle n\) szám, amelyre \(\displaystyle \left\lbrace \sqrt{2} n \right\rbrace \cdot \left\lbrace \frac{n}{\sqrt{2}} \right\rbrace\) racionális.

Statisztika:

A B. 5423. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. decemberi matematika feladatai