A B. 5423. feladat (2024. december)

B. 5423. Az $\displaystyle x$ szám törtrészét $\displaystyle \{x\}$ jelöli. Létezik-e olyan $\displaystyle n$ pozitív egész szám, amelyre $\displaystyle \left\{\sqrt{2}n\right\}\cdot \left\{\dfrac{n}{\sqrt{2}}\right\}$ racionális?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle a=\left[\sqrt2n\right]$ és $\displaystyle b=\left[ \frac{n}{\sqrt2}\right]$ jelöléseket bevezetve a kérdéses szorzat

$\displaystyle r:=\left\{\sqrt2n\right\}\cdot\left\{\frac{n}{\sqrt2}\right\}= \left(\sqrt2n-a\right)\left(\frac{n}{\sqrt2}-b\right)= n^2+ab-\frac{n(a+2b)}{\sqrt2}.$

Ezt átrendezve

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}=\frac{n^2+ab-r}{n(a+2b)},$

hiszen $\displaystyle n$ pozitív egész volta miatt $\displaystyle a\geq 1$ és $\displaystyle b\geq 0$, így $\displaystyle n(a+2b)\ne 0$. Tudjuk, hogy $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle n$ egész számok, így ha $\displaystyle r$ is racionális lenne, akkor ebből az következne, hogy az $\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}$ szám is racionális, azonban ismert (és könnyen igazolható), hogy irracionális. Így $\displaystyle r$ irracionális.

Tehát nem létezik olyan $\displaystyle n$ szám, amelyre $\displaystyle \left\lbrace \sqrt{2} n \right\rbrace \cdot \left\lbrace \frac{n}{\sqrt{2}} \right\rbrace$ racionális.

Statisztika:

102 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	85 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2024. decemberi matematika feladatai