A B. 5425. feladat (2024. december)

B. 5425. Legyen $\displaystyle ABCD$ húrnégyszög köré írt körének középpontja $\displaystyle O$, az $\displaystyle AC$ átlójának felezőpontja pedig $\displaystyle E$. Tegyük fel továbbá, hogy $\displaystyle O$ és $\displaystyle E$ különbözőek. Mutassuk meg, hogy ha $\displaystyle OEBD$ is húrnégyszög, akkor $\displaystyle EC$ felezi a $\displaystyle DEB$ szöget.

Javasolta: Somogyi Ákos (London)

(4 pont)

A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle ABCD$ körben $\displaystyle OA=OB=OC=OD$ a kör sugarai.

Az $\displaystyle OAC$ háromszög egyenlő szárú, ezért az $\displaystyle OE$ egyenes a háromszög magassága: $\displaystyle AC\perp OE$.

Az $\displaystyle BEOD$ körben $\displaystyle BO=DO$ miatt a $\displaystyle BO$ és $\displaystyle OD$ ívek egyenlők, ezért $\displaystyle OE$ a $\displaystyle BED$ szög külső szögfelezője. A külső szögfelezőre merőleges, a szög csúcsán átmenő $\displaystyle AEC$ egyenes tehát a $\displaystyle BED$ szög belső szögfelezője.

Statisztika:

72 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	66 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2024. decemberi matematika feladatai