Problem B. 5426. (December 2024)

B. 5426. Jumpy, the grasshopper is jumping around on the positive integers of the numberline, visiting each exactly once. Is it possible that the lengths of his jumps produce every positive integer exactly once?

Proposed by: Márton Lovas, Budakalász

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Igen. Induljon Ugri az $\displaystyle 1$-ről, és kövesse az alábbi stratégiát:

Kétféle "üzemmódja" lehet Ugrinak: száméhsége és távolságéhsége. Amikor száméhes, akkor megkeresi a legkisebb olyan $\displaystyle k$ számot, melyen még nem járt, és a jelenlegi tartózkodási helyéről, $\displaystyle n$-ről átugrik $\displaystyle N$-re, majd át $\displaystyle k$-ra. Ehhez egy olyan nagy $\displaystyle N\geq n,k$ számot választ, hogy $\displaystyle N-n$ és $\displaystyle N-k$ is nagyobb legyen bármely eddigi ugrásánál, $\displaystyle N$ pedig nagyobb legyen minden eddigi érintett számnál. $\displaystyle k$-ra megérkezve távolságéhessé válik.

Amikor Ugri távolságéhes, megkeresi a legkisebb olyan $\displaystyle d$ távolságot, mely még nem szerepel ugrásai hosszai között, és $\displaystyle n$-ről átugrik $\displaystyle n+M$-re, onnan pedig $\displaystyle n+M+d$-re. Ehhez $\displaystyle d\lt M$-et oly nagynak választja, hogy $\displaystyle M$ nagyobb legyen minden eddigi ugrásánál, és $\displaystyle n+M$ (és így $\displaystyle n+M+d$ is) nagyobb legyen minden eddigi meglátogatott számnál. A művelet végén száméhessé válik.

A fenti konstrukcióból látható, hogy sem az érintett számok, sem a távolságok között nem lehet ismétlődés, valamint minden számhoz, illetve távolsághoz előbb-utóbb eljut Ugri, hiszen minden száméhségnél, illetve távolságéhségnél a legkisebb kihagyott szám, illetve távolság legalább $\displaystyle 1$-gyel nő.

Statistics:

51 students sent a solution.
5 points:	Ali Richárd, Aravin Peter, Bolla Donát Andor, Görömbey Tamás, Holló Martin, Klement Tamás, Kovács Benedek Noel, Minh Hoang Tran, Miszori Gergő, Molnár István Ádám, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Prohászka Bulcsú, Rajtik Sándor Barnabás, Sárdinecz Dóra, Szabó 721 Sámuel, Tamás Gellért, Török Eszter Júlia, Vámosi Bendegúz Péter, Varga 511 Vivien, Virág Lénárd Dániel, Vödrös Dániel László, Wágner Márton.
4 points:	Balla Ignác .
3 points:	2 students.
2 points:	4 students.
1 point:	6 students.
0 point:	14 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2024