 |
A B. 5428. feladat (2024. december) |
B. 5428. Oldjuk meg a következő egyenletet a nemnegatív egész számok halmazán: \(\displaystyle 5^{a}+12^{b}=13^{c}\).
Javasolta: Somogyi Ákos (London)
(6 pont)
A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Világos, hogy \(\displaystyle (a,b,c)=(0,1,1)\) és \(\displaystyle (a,b,c)=(2,2,2)\) megoldásai az egyenletnek.
Szükségünk lesz az \(\displaystyle 5^a\) és \(\displaystyle 13^c\) hatványok modulo \(\displaystyle 3\), modulo \(\displaystyle 5\), modulo \(\displaystyle 8\), modulo \(\displaystyle 13\) és modulo \(\displaystyle 16\) osztási maradékaira. Mint könnyen ellenőrizhető,
\(\displaystyle 5^{2k}\equiv1, \quad 5^{2k+1}\equiv2\pmod{3}; \)
\(\displaystyle 5^{2k}\equiv1, \quad 5^{2k+1}\equiv5\pmod{8}; \)
\(\displaystyle 5^{4k}\equiv1, \quad 5^{4k+1}\equiv5, \quad 5^{4k+2}\equiv12, \quad 5^{4k+3}\equiv8\pmod{13}; \)
\(\displaystyle 5^{4k}\equiv1, \quad 5^{4k+1}\equiv5, \quad 5^{4k+2}\equiv9, \quad 5^{4k+3}\equiv13\pmod{16}; \)
\(\displaystyle 13^{4k}\equiv1, \quad 13^{4k+1}\equiv3, \quad 13^{4k+2}\equiv4, \quad 13^{4k+3}\equiv2\pmod{5}; \)
\(\displaystyle 13^{2k}\equiv1, \quad 13^{2k+1}\equiv5\pmod{8}; \)
\(\displaystyle 13^{4k}\equiv1, \quad 13^{4k+1}\equiv13, \quad 13^{4k+2}\equiv9, \quad 13^{4k+3}\equiv5\pmod{16}. \)
Először is vegyük észre, hogy \(\displaystyle b=0\) nem lehetséges, mert akkor mindhárom tag páratlan lenne, és \(\displaystyle c=0\) sem lehetséges, mert \(\displaystyle 13^c=5^a+12^b\ge2\). Tehát \(\displaystyle b\ge1\) és \(\displaystyle c\ge1\).
- Ha \(\displaystyle b=1\), vagyis az egyenlet \(\displaystyle 5^a+12=13^c\): vizsgáljuk az egyenletet modulo \(\displaystyle 13\), \(\displaystyle 16\) és \(\displaystyle 5\).
- Ha \(\displaystyle b\ge2\), akkor \(\displaystyle 12^b\) osztható \(\displaystyle 16\)-tal. Az egyenletet vizsgáljuk modulo \(\displaystyle 3\) és modulo \(\displaystyle 8\).
Modulo \(\displaystyle 13\) vizsgálva, \(\displaystyle 5^a=13^c-12\equiv0-12\equiv1\pmod{13}\). Ez csak úgy lehet, ha \(\displaystyle a=4k\) valamilyen nemnegatív egész \(\displaystyle k\)-val.
Ezután modulo \(\displaystyle 16\) vizsgálva,\(\displaystyle 13^c=5^a+12=5^{4k}+12\equiv1+12=13\pmod{16}\), tehát \(\displaystyle c=4m+1\) valamilyen nemnegatív egész \(\displaystyle m\)-mel.
Végül modulo \(\displaystyle 5\) vizsgálva, \(\displaystyle 5^a=13^c-12=13^{4m+1}-12\equiv 3-2=1\pmod{5}\), ami csak úgy lehet, ha \(\displaystyle a=0\).
Ezek után \(\displaystyle 13^c=5^a+12=13\), vagyis \(\displaystyle c=1\).
A \(\displaystyle b=1\) esetben tehát csak egy megoldás van, a \(\displaystyle (0,1,1)\).
Mivel \(\displaystyle 5^a=13^c-12^b\equiv1-0=1\pmod{3}\), az \(\displaystyle a\) kitevő páros: \(\displaystyle a=2x\) valamilyen nemnegatív egész \(\displaystyle x\)-szel.
Mivel \(\displaystyle 13^c=5^a+12^b=5^{2x}+12^b\equiv1+0=1\pmod{8}\), a \(\displaystyle c\) is páros: \(\displaystyle c=2z\) egy pozitív egész \(\displaystyle z\)-vel.
Most tekintsük a
\(\displaystyle 12^b = 13^c-5^a = 13^{2z}-5^{2x} = (13^z+5^x) (13^z-5^x) \)
kifejezést. Vegyük észre, hogy mivel \(\displaystyle 12^b\) pozitív, a \(\displaystyle 13^z-5^x\) is csak pozitív lehet.
Legyen \(\displaystyle 13^z+5^x\) és \(\displaystyle 13^z-5^x\) legnagyobb közös osztója \(\displaystyle d\). Mivel \(\displaystyle 13^z+5^x\) és \(\displaystyle 13^z-5^x\) is páros, a \(\displaystyle d\) is páros. Másrészt \(\displaystyle d\) osztója \(\displaystyle 13^z+5^x\) és \(\displaystyle 13^z-5^x\) összegének és különbségének is: \(\displaystyle d\big|2\cdot13^z\) és \(\displaystyle d\big|2\cdot5^x\). Mindez csak úgy lehet, ha \(\displaystyle d=2\).
A \(\displaystyle 12^b=2^{2k}\cdot 3^b\) számnak két olyan szorzattá alakítása van, amelyben a két tényező pozitív egész, és a legnagyobb közös osztójuk a \(\displaystyle 2\): a \(\displaystyle 2\cdot (2^{2b-1}3^b)\) és a \(\displaystyle 2^{2b-1}\cdot(2\cdot3^b)\). Vegyük azonban észre, hogy a kisebbik tényező, \(\displaystyle 13^z-5^x\) osztható \(\displaystyle 4\)-gyel is. Ezért csak a második szorzat lehetséges, és a \(\displaystyle 4\)-gyel osztható tényező a \(\displaystyle 2^{2b-1}\):
\(\displaystyle 13^z+5^x=2\cdot 3^b, \quad 13^z-5^x=2^{2b-1}.\)
A kettő összegéből és különbségéből kapjuk, hogy
\(\displaystyle 13^z = 3^b+2^{2b-2}, \quad 5^x=3^b-2^{2b-2}.\)
A \(\displaystyle 3^b-2^{2b-2}=5^x>0\) becslésből azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle 3^b > 2^{2b-2} = 4^{b-1}, \)
\(\displaystyle 4 > \bigg(\frac43\bigg)^b, \)
\(\displaystyle b < 5. \)
Ha \(\displaystyle b=2\), akkor \(\displaystyle 13^z=3^2+2^2=13\) és \(\displaystyle 5^x=3^2-2^2=5\), vagyis \(\displaystyle x=z=1\), \(\displaystyle a=c=2\), ezzel megtaláltuk a \(\displaystyle (2,2,2)\) megoldást. Ha \(\displaystyle b=3\), akkor \(\displaystyle 13^z=3^3+2^4=43\), ha pedig \(\displaystyle b=4\), akkor \(\displaystyle 13^z=3^4+2^6=145\), ezek nem adnak megoldást.
Statisztika:
A B. 5428. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2024. decemberi matematika feladatai