 |
A B. 5429. feladat (2024. december) |
B. 5429. Tetszőleges X, Y, Z pontokra jelölje [XYZ] az XYZ háromszög területét. Mutassuk meg, hogy ha az A, B, C, D, E, F pontok egy nem elfajuló kúpszeletre esnek, akkor
[ABC]⋅[CDE]⋅[EFA]⋅[BDF]=[BCD]⋅[DEF]⋅[FAB]⋅[ACE].
Javasolta: Kós Géza (Budapest)
(6 pont)
A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.
1. megoldás. Először vizsgáljuk meg, mi történik, ha A,B,C,D,E,F közül valamelyik kettő egybeesik. A pontok szerepe ciklikusan szimmetrikus, ezért elég azt az esetet néznünk, ha A egybeesik egy másik ponttal. Az AB, AC, AE, AF szakaszok az állítás mindkét oldalán szerepelnek valamelyik háromszög oldalaként, ezért ha A=B, A=C, A=E vagy A=F, akkor mindkét szorzat nulla. Ha pedig A=D, akkor [ABC]=[BCD] (a két háromszög körüljárása azonos), [CDE]=[ACE] (a két háromszög körüljárása ellentétes), [EFA]=[DEF] (azonos körüjárás) és [BDF]=[FAB] (ellentétes körüljárás), így a két szorzat tényezői ugyanazok, csak a sorrendjükben különböznek. Az állítás tehát mindig teljesül, ha valamelyik két pont egybeesik.
A továbbiakban feltételezzük, hogy A,B,C,D,E,F páronként különböző, így az általuk meghatározott háromszögek nem fajulhatnak el, az állításban szereplő területek egyike sem 0.
Jelöljük a kúpszeletet Ω-val. Abban a speciális esetben, ha Ω egy r sugarú kör, akkor a bizonyítandó állítás két oldalán mindenhol alkalmazzuk a jól ismert t=abc4r területképletet:
[ABC]⋅[CDE]⋅[EFA]⋅[BDF]==AB⋅BC⋅AC4r⋅CD⋅DE⋅CE4r⋅EF⋅FA⋅EA4r⋅BD⋅DF⋅FB4r,[BCD]⋅[DEF]⋅[FAB]⋅[ACE]==BC⋅CD⋅BD4r⋅DE⋅EF⋅DF4r⋅FA⋅AB⋅FB4r⋅AC⋅CE⋅EA4r.A jobboldalakon ugyanazoknak a szakaszoknak a szorzata szerepel, tehát ezek egyenlők, ami bizonyítja az állítást.
Az általános esetet úgy bizonyítjuk, hogy a kúpszeletet egy körre vetítjük. Jól ismert, hogy bármely nemelfajuló kúpszelet előáll, egy – mindkét irányban végtelen – kúppalást és egy, a kúp csúcsára nem illeszkedő sík metszeteként. Vegyünk tehát fel egy O csúcsú kúppalástot, amelyre Ω illeszkedik, és vegyünk fel egy Ω′ kört ugyanezen a kúpon. Ekkor az O pontból az Ω-t az Ω′ körre vetíthetjük.
Jelölje az A,B,C,D,E,F pontok képét rendre A′,B′,C′,D′,E′,F′. Legyen továbbá az O pont távolsága Ω és Ω′ síkjától d, illetve d′.
A B.5101. feladathoz hasonlóan, bármely X,Y,Z∈Ω pontokra és ezek X′,Y′,Z′∈Ω′ képeire tekintsük az OXYZ és az OX′Y′Z′ tetraéder térfogatát. A tetraéderek térfogatait v(...)-vel jelölve,
[XYZ][X′Y′Z′]=3dv(OXYZ)3d′v(OX′Y′Z′)=d′d⋅v(OXYZ)v(OX′Y′Z′)=d′d⋅OXOX′⋅OYOY′⋅OZOZ′.
Ha ezt behelyettesítjük a bizonyítandó állítás két oldalán szereplő háromszögek területeibe,
[ABC][A′B′C′]⋅[CDE][C′D′E′]⋅[EFA][E′F′A′]⋅[BDF][B′D′F′]==(d′d⋅OAOA′⋅OBOB′⋅OCOC′)⋅(d′d⋅OCOC′⋅ODOD′⋅OEOE′)⋅⋅(d′d⋅OEOE′⋅OFOF′⋅OAOA′)⋅(d′d⋅OBOB′⋅ODOD′⋅OFOF′)=(d′d)4⋅(OAOA′⋅OBOB′⋅OCOC′⋅ODOD′⋅OEOE′⋅OFOF′)2,és ugyanígy
[BCD][B′C′D′]⋅[DEF][D′E′F′]⋅[FAB][F′A′B′]⋅[ACE][A′C′E′]=(d′d)4⋅(OAOA′⋅OBOB′⋅OCOC′⋅ODOD′⋅OEOE′⋅OFOF′)2,
tehát
| [ABC][A′B′C′]⋅[CDE][C′D′E′]⋅[EFA][E′F′A′]⋅[BDF][B′D′F′]=[BCD][B′C′D′]⋅[DEF][D′E′F′]⋅[FAB][F′A′B′]⋅[ACE][A′C′E′]. | (1) |
Végül, mivel A′,B′,C′,D′,E′,F′ egy körön vannak, ezekre már igazoltuk, hogy
| [A′B′C′]⋅[C′D′E′]⋅[E′F′A′]⋅[B′D′F′]=[B′C′D′]⋅[D′E′F′]⋅[F′A′B′]⋅[A′C′E′]. | (2) |
Az (1) és (2) szorzata éppen kiadja a bizonyítandó állítást.
Megjegyzések. 1. A megoldás előjeles szakaszokkal, területekkel és térfogatokkal is elmondható, így a feladat állítása előjeles területekkel is igaz.
2. Tetszőleges A,B,C,D,E,F pontok esetén, amelyek közül semelyik három nem esik egy egyenesre, vizsgálhatjuk az
f(A,B,C,D,E,F)=[ABC]⋅[CDE]⋅[EFA]⋅[BDF][BCD]⋅[DEF]⋅[FAB]⋅[ACE]
kifejezést, ahol most előjeles területeket használunk. A fenti megoldás mutatja, hogy az f függvény – a kettősviszonyhoz hasonlóan – vetítésinvariáns: ha a pontokat középpontosan vetítjük egy másik síkra, akkor az f értéke nem változik, és f(A,B,C,D,E,F) értéke akkor és csak akkor 1, ha A,B,C,D,E,F egy kúpszeletre esik.
2. megoldás. Az első megoldáshoz hasonlóan feltehetjük, hogy A,B,C,D,E,F páronként különböző.
Rögzítsük a B,C,D,E,F pontokat, és a sík tetszőleges X=(x,y) pontjára legyen
f(X)=[XBC]⋅[CDE]⋅[EFX]⋅[BDF]−[BCD]⋅[DEF]⋅[FXB]⋅[XCE],
ahol most is előjeles területeket használunk. Azt már tudjuk, hogy f(B)=f(C)=f(D)=f(E)=f(F)=0; azt kell igazolnunk, hogy f(A)=0.
Az X↦[XBC], X↦[EFX], X↦[FXB], X↦[XCE] függvények lineárisak, így f egy kétváltozós, legfeljebb másodfokú polinom. Az f(X)=0 ezért vagy egy kúpszelet, vagy egy egyenes egyenlete, vagy pedig azonosság.
Egy kúpszeletet egyértelműen meghatároz 5 különböző pontja, tehát ha f(X)=0 egy kúpszelet egyenlete, akkor ez csak az B,C,D,E,F pontokra illeszkedő kúpszelet lehet, amelyre A is illeszkedik, tehát f(A)=0.
Mivel a B,C,D,E,F pontok nem esnek egy egyenesre, az f(X)=0 nem lehet egyenes egyenlete.
Végül, ha f(X)=0 azonosság, akkor az A pontra is automatikusan teljesül.
Statisztika:
16 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Holló Martin, Sha Jingyuan, Vámosi Bendegúz Péter. 5 pontot kapott: Aravin Peter, Diaconescu Tashi, Gyenes Károly, Li Mingdao, Minh Hoang Tran, Vigh 279 Zalán, Vödrös Dániel László, Wágner Márton. 4 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2024. decemberi matematika feladatai
|
|