A B. 5438. feladat (2025. február)

B. 5438. Hányféle eredményt kaphatunk, ha összeadunk két különböző, $\displaystyle n$-jegyű számot, amelyeknek minden jegye 4-es vagy 7-es?

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Azért, hogy az összeadás során fellépő tízesátlépés problémáját kikerüljük, kicsit átfogalmazzuk a feladatot.

Jelölje $\displaystyle H_n$ azon $\displaystyle n$-jegyű számok halmazát, amelyek minden jegye $\displaystyle 4$-es vagy $\displaystyle 7$-es, továbbá jelölje $\displaystyle G_n$ azon $\displaystyle n$-jegyű számok halmazát, amelyek minden jegye $\displaystyle 1$-es vagy $\displaystyle 4$-es.

Ha a $\displaystyle H_n$-beli $\displaystyle x$ számból kivonjuk az $\displaystyle n$-jegyű csupa $\displaystyle 3$-as számjegyből álló $\displaystyle 333...3$ számot, akkor egy $\displaystyle G_n$-beli $\displaystyle x'$ számot kapunk, amit hívjunk $\displaystyle x$ ,,párjának'' (és hasonlóan az $\displaystyle x'$ $\displaystyle G_n$-beli számhoz a $\displaystyle 33...3$-t hozzáadva a $\displaystyle H_n$-beli $\displaystyle x$ párját kapjuk). Ha a két különböző $\displaystyle H_n$-beli $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ szám helyett a $\displaystyle G_n$-beli $\displaystyle x'$ és $\displaystyle y'$ párjaikat adom össze, akkor pontosan $\displaystyle 666...6$-tal (ami az $\displaystyle n$-jegyű csupa $\displaystyle 6$-os jegyből álló szám) kapok kisebb összeget, és fordítva az $\displaystyle x'+y'$ összeghez képest $\displaystyle x+y$ pontosan $\displaystyle 666...6$-tal nagyobb.

Emiatt ha összeszámoljuk hányféle eredmény kapható a különböző $\displaystyle G_n$-beli $\displaystyle x'$, $\displaystyle y'$ szám $\displaystyle x'+y'$ összegeként akkor megválaszoljuk az eredeti feladatot is.

Az $\displaystyle x'+y'$ összeg egy olyan $\displaystyle n$-jegyű szám, amelynek mind az $\displaystyle n$ darab jegye $\displaystyle 2$ vagy $\displaystyle 5$ vagy $\displaystyle 8$ lehet csak. Összesen $\displaystyle 3^n$ darab ilyen $\displaystyle n$-jegyű szám van. Azt vizsgáljuk a továbbiakban, hogy ezen $\displaystyle 3^n$ darab szám mindegyike előáll-e $\displaystyle x'+y'$ alakban, ahol $\displaystyle x'$ és $\displaystyle y'$ különböző $\displaystyle G_n$-beli számok.

Tekintsünk most egy olyan $\displaystyle n$-jegyű $\displaystyle z$ számot, aminek minden jegye a $\displaystyle 2$, $\displaystyle 5$, $\displaystyle 8$ jegyek közül kerül ki. Konstruálunk $\displaystyle z$-hez olyan $\displaystyle x'$ és $\displaystyle y'$ (nem feltétlenül különböző) $\displaystyle G_n$-beli számokat, melyek összege éppen $\displaystyle z$. Ehhez $\displaystyle z$ számjegyeit fogjuk felhasználni.

– Ha a $\displaystyle z$ szám $\displaystyle k$-adik jegye $\displaystyle 2$, akkor mind $\displaystyle x'$, mind $\displaystyle y'$ $\displaystyle k$-adik jegye legyen $\displaystyle 1$-es (ez az eset egyértelműen kijelöli a lehetséges $\displaystyle x'$ és $\displaystyle y'$ szám $\displaystyle k$-adik jegyét);

– ha a $\displaystyle z$ szám $\displaystyle k$-adik jegye $\displaystyle 5$, akkor az $\displaystyle x'$ $\displaystyle k$-adik jegye legyen $\displaystyle 1$-es, míg $\displaystyle y'$ $\displaystyle k$-adik jegye legyen $\displaystyle 4$-es;

– míg ha a $\displaystyle z$ szám $\displaystyle k$-adik jegye $\displaystyle 8$, akkor mind $\displaystyle x'$, mind $\displaystyle y'$ $\displaystyle k$-adik jegye legyen $\displaystyle 4$-es (ez az eset is egyértelműen jelöli ki a lehetséges $\displaystyle x'$ és $\displaystyle y'$ szám $\displaystyle k$-adik jegyét).

Nyilván $\displaystyle x', y' \in G_n$. Továbbá ha a $\displaystyle z$ számnak legalább egy $\displaystyle 5$-ös jegye van, akkor $\displaystyle x' < y'$, azaz $\displaystyle z$ valóban előállítható két különböző $\displaystyle G_n$-beli szám összegeként. Az olyan $\displaystyle z$ számok viszont, amelyek minden jegye a $\displaystyle 2$ és $\displaystyle 8$ számok közül kerül csak ki (mivel $\displaystyle z$ minden jegye egyértelműen kijelöli a potenciális $\displaystyle x'$ és $\displaystyle y'$ megfelelő jegyét) csak egyféleképpen áll elő két $\displaystyle G_n$ beli szám $\displaystyle x'+y'$ összegeként, méghozzá úgy, hogy $\displaystyle x'=y'$, ami a feladat szempontjából nem megfelelő.

Azaz azon $\displaystyle z$ $\displaystyle n$-jegyű számokat kell összeszámolni, amelyek minden jegye $\displaystyle 2$ vagy $\displaystyle 5$ vagy $\displaystyle 8$, de van legalább egy darab $\displaystyle 5$-ös jegyük. Az ilyen számok száma nyilván $\displaystyle 3^n-2^n$, hiszen az összes lehetséges $\displaystyle 3^n$ eset közül el kell hagynunk azt az összesen $\displaystyle 2^n$ esetet, ahol $\displaystyle z$ jegyei között nem fordul elő $\displaystyle 5$-ös.

Válasz: összesen $\displaystyle 3^n - 2^n$ darab eredményt kaphatunk.

Statisztika:

108 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Balla Ignác , Baran Júlia, Bencze Mátyás, Bodor Ádám, Bogdán Balázs Ákos, Bolla Donát Andor, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Fodor Barna, Gyenes Károly, Hajba Milán, Hideg János, Illés Dóra, Klement Tamás, Kovács Benedek Noel, Li Mingdao, Maróti Bálint, Mikó Hédi Irma, Molnár István Ádám, Molnár-Sáska Tamás, Péter Hanna, Prohászka Bulcsú, Sha Jingyuan, Sütő Áron, Szekrényes Sára Róza, Tajta Sára, Tamás Gellért, Török Eszter Júlia, Varga 511 Vivien, Varsányi Benedek, Wágner Márton, Wiener Marcell, Zhai Yu Fan.
2 pontot kapott:	28 versenyző.
1 pontot kapott:	25 versenyző.
0 pontot kapott:	17 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2025. februári matematika feladatai