A B. 5441. feladat (2025. február)

B. 5441. Egy háromszög szögei $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ és $\displaystyle \gamma$. Mutassuk meg, hogy

$\displaystyle \sin\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\geq\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma.$

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A koszinusz függvény addíciós képlete szerint

$\displaystyle \cos x + \cos y = \cos \left(\frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{2}\right) + \cos \left(\frac{x+y}{2} - \frac{x-y}{2}\right) =\cos\frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}-\sin\frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}+$

$\displaystyle +\cos\frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}+\sin\frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}= 2\cdot \cos \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2}.$

Ezzel a bizonyítandó egyenlőtlenség jobb oldala

$\displaystyle \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \frac{1}{2}\left(\cos \alpha + \cos \beta\right) + \frac{1}{2}\left(\cos \alpha + \cos \gamma\right) + \frac{1}{2}\left(\cos \beta + \cos \gamma\right) =$

$\displaystyle = \cos \frac{\alpha + \beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \gamma}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \gamma}{2} + \cos \frac{\beta + \gamma}{2}\cdot \cos \frac{\beta - \gamma}{2}.$

Mivel $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ és $\displaystyle \gamma$ egy háromszög szögei, $\displaystyle \cos \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \frac{180^{\circ} - \gamma}{2} = \cos (90^{\circ} - \frac{\gamma}{2}) = \sin \frac{\gamma}{2}$. Hasonlóan $\displaystyle \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} = \sin \frac{\beta}{2}$ és $\displaystyle \cos \frac{\beta + \gamma}{2} = \sin \frac{\alpha}{2}$.

A bizonyítandó egyenlőtlenség jobb oldala így

$\displaystyle \sin \frac{\gamma}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \sin \frac{\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \gamma}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\cdot \cos \frac{\beta - \gamma}{2}.$

A félszögek szinuszai nemnegatívak, és $\displaystyle \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$, $\displaystyle \cos \frac{\alpha - \gamma}{2}$ és $\displaystyle \cos \frac{\beta - \gamma}{2}$ mindegyike legfeljebb 1, így valóban

$\displaystyle \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = \sin \frac{\gamma}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \sin \frac{\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha - \gamma}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\cdot \cos \frac{\beta - \gamma}{2} \le \sin \frac{\gamma}{2} + \sin \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}.$

Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha

$\displaystyle \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = \cos \frac{\alpha - \gamma}{2} = \cos \frac{\beta - \gamma}{2} =1,$

azaz $\displaystyle \alpha = \beta = \gamma$, vagyis a háromszög szabályos.

Statisztika:

43 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ali Richárd, Aravin Peter, Bencze Mátyás, Bolla Donát Andor, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Diaconescu Tashi, Gaál Gergely, Hajszter Dóra, Holló Martin, Illés Dóra, Kámán-Gausz Péter, Li Mingdao, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Puppi Barna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sun Wen Ze, Szabó 721 Sámuel, Török Eszter Júlia, Varga 511 Vivien, Vigh 279 Zalán, Virág Lénárd Dániel, Virág Tóbiás, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
3 pontot kapott:	Harkay Ákos, Sógor-Jász Soma, Sütő Áron.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2025. februári matematika feladatai