A B. 5443. feladat (2025. február)

B. 5443. Bármilyen pozitív egész $\displaystyle n$-re jelölje $\displaystyle a_n$ az $\displaystyle n$-nél nem nagyobb pozitív egész teljes hatványok számát. (Például $\displaystyle a_9=4$.) Az $\displaystyle n$ ,,izgalmas'', ha $\displaystyle a_n \mid n$. Igazoljuk, hogy végtelen sok izgalmas szám van.

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2025. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Először adjunk felső becslést $\displaystyle a_{4^n}$-re (azaz arra, hogy $\displaystyle 4^n$-ig hány teljes hatvány lehet). A $\displaystyle 4^n$-nél nem nagyobb teljes hatványok alapjai a $\displaystyle 2;3;...;2^n$ számok közül kerülhetnek csak ki, és mindegyik ilyen alap esetén a kitevő legfeljebb $\displaystyle 2n$ lehet (az is csak a 2-es alap esetén). Egy csomó teljes hatványhoz (pl. $\displaystyle 16=2^4=4^2$) több alap is tartozik, de mivel felülről becsülünk, ez nem okoz gondot. Azaz az eddigiek szerint $\displaystyle a_{4^n} \leq 2 n \cdot 2^n$.

Másodszor: legyen $\displaystyle k$ tetszőleges pozitív egész, és $\displaystyle x_n=ka_n-n$ ($\displaystyle n=1,2,\ldots$). Azt fogjuk megmutatni, hogy az $\displaystyle \lbrace x_n \rbrace$ sorozat tartalmazza a $\displaystyle 0$-t, mivel ekkor például $\displaystyle x_m=0$ esetén $\displaystyle k a_m - m = 0 \Rightarrow k a_m=m$ és $\displaystyle a_m$ (a ,,$\displaystyle k$ pozitív egészhez tartozó'') izgalmas szám.

$\displaystyle x_n$-t vizsgálva $\displaystyle x_1= k \cdot a_1 -1=k-1 \geq 0$, míg minden további $\displaystyle (n+1)$ indexre $\displaystyle x_{n+1}=x_n - 1$ (ha $\displaystyle n+1$ nem teljes hatvány), vagy $\displaystyle x_{n+1}=x_n+(k-1) \geq x_n$ (ha $\displaystyle n+1$ teljes hatvány).

A megoldás elején bizonyított $\displaystyle a_{4^n} \leq 2 n \cdot 2^n$ egyenlőtlenséget felhasználva $\displaystyle x_{4^n} \leq 2k n \cdot 2^n -4^n = -2^n\big(2^n-2kn\big)\to-\infty$ miatt az $\displaystyle \lbrace x_n \rbrace$ sorozat tartalmaz negatív elemet. Ha $\displaystyle x_{n+1}$ az első negatív elem a sorozatban, akkor $\displaystyle x_n=0$, vagyis $\displaystyle k\cdot a_n=n$.

Azaz tetszőleges $\displaystyle k$ pozitív egész esetén van olyan $\displaystyle n$, amelyre $\displaystyle k\cdot a_n=n$, és így persze $\displaystyle n$ izgalmas szám. Mivel különböző $\displaystyle k$ (pozitív egész) számokhoz nyilván csak különböző $\displaystyle n$-ek tartozhatnak, ezért valóban végtelen sok izgalmas szám van (és ezt akartuk igazolni).

Statisztika:

17 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Ali Richárd, Gyenes Károly, Holló Martin, Kovács Benedek Noel, Molnár István Ádám, Pázmándi József Áron, Tamás Gellért, Vámosi Bendegúz Péter.
5 pontot kapott:	Wágner Márton.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2025. februári matematika feladatai