A B. 5447. feladat (2025. március)

B. 5447. Az $\displaystyle x$, $\displaystyle y$, $\displaystyle z$ pozitív valós számok összege $\displaystyle 2025$. Határozzuk meg

$\displaystyle x^2+y^2+z^2+20x+2y+5z$

lehetséges legkisebb értékét.

Javasolta: Lovas Márton (Budakalász)

(3 pont)

A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kérdéses összeget jelöljük $\displaystyle S$-sel. Teljes négyzeteket kialakítva kapjuk, hogy

$\displaystyle S+10^2+1^2+2{,}5^2=(x+10)^2+(y+1)^2+(z+2{,}5)^2.$

Alkalmazzuk a számtani és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenséget az $\displaystyle x+10$, $\displaystyle y+1$, $\displaystyle z+2,5$ számokra:

$\displaystyle \sqrt{\frac{(x+10)^2+(y+1)^2+(z+2{,}5)^2}{3}}\geq \frac{(x+10)+(y+1)+(z+2{,}5)}{3},$

amiből

$\displaystyle (x+10)^2+(y+1)^2+(z+2{,}5)^2\geq \frac{(x+y+z+13{,}5)^2}{3}=\frac{2038{,}5^2}{3}=1385160{,}75,$

és ezért

$\displaystyle S\geq 1385160{,}75-10^2-1^2-2{,}5^2=1385053{,}5.$

Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a fenti, számtani és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenség egyenlőséggel teljesül, vagyis ha $\displaystyle x+10=y+1=z+2{,}5$. Ekkor $\displaystyle 2025=x+y+z=x+(x+9)+(x+7{,}5)=3x+16{,}5$ alapján $\displaystyle x=669{,}5$, és így $\displaystyle y=678{,}5$ és $\displaystyle z=677$. Ezzel igazoltuk, hogy $\displaystyle S\geq 1\,385\,053{,}5$, és megmutattuk, hogy egyenlőség is lehetséges, így a kérdéses összeg legkisebb lehetséges értéke $\displaystyle 1\,385\,053{,}5$.

Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Ali Richárd, Aravin Peter, Balaskó Noémi, Balassa János, Balla Ignác , Baran Júlia, Beinschroth Máté, Bencze Mátyás, Blaskovics Ádám, Bodor Ádám, Bodor Noémi, Bolla Donát Andor, Bui Thuy-Trang Nikolett, Csató Hanna Zita , Dancs Bálint, Fodor Barna, Görömbey Tamás, Guthy Gábor, Gyenes Károly, Hajba Milán, Halmosi Dávid, Han Xinzhi, Hideg János, Hodossy Réka, Horák Zsófia, Jurácsik Marcell, Kerekes András, Klement Tamás, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Mikó Hédi Irma, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Röst Vilmos, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Sütő Áron, Szabó 721 Sámuel, Török Eszter Júlia, Vadkerti Vince, Vályi Nagy Ádám András, Vámosi Bendegúz Péter, Varga 511 Vivien, Viczián Márk, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
2 pontot kapott:	27 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2025. márciusi matematika feladatai