A B. 5449. feladat (2025. március)

B. 5449. Adjuk meg azon $\displaystyle (a,b)$ pozitív egész számpárokat, amelyekre teljesül, hogy $\displaystyle a^6=2b^2-1$.

Javasolta: Füredi Erik (Budapest)

(4 pont)

A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Adjunk az egyenlet mindkét oldalához 1-et, majd a bal oldalt alakítsuk szorzattá. Így az egyenlet:

$\displaystyle a^6+1=(a^2)^3+1=(a^2+1)(a^4-a^2+1)=2b^2.$

Először azt látjuk be, hogy a bal oldalon szereplő két tényező relatív prím.

$\displaystyle a^4-a^2+1=a^4+a^2-2a^2-2+3=a^2(a^2+1)-2(a^2+1)+3=(a^2+1)(a^2-2)+3.$

A közös osztó tehát osztója 3-nak, azonban $\displaystyle a^2+1$ nem lehet 3-mal osztható, mert a négyzetszámok 3-mal osztva 0 vagy 1 maradékot adnak, vagyis $\displaystyle a^2+1$ hármas maradéka csak 1 vagy 2 lehet. Megmutattuk, hogy $\displaystyle a^2+1$ és $\displaystyle a^4-a^2+1$ relatív prímek. Ennek megfelelően szorzatuk csak úgy lehet egy négyzetszám kétszerese, ha az egyik tényező négyzetszám, a másik pedig egy négyzetszám duplája.

Az $\displaystyle a^2+1$ csak $\displaystyle a=0$ esetén lehetne négyzetszám, de ez nem megoldás, mert $\displaystyle a^6+1=1\neq 2b^2$. Ezek szerint az $\displaystyle a^4-a^2+1$ kell, hogy négyzetszám legyen. Láttuk, hogy $\displaystyle a=0$ nem megoldás, tehát $\displaystyle a^2\ge 1$, emiatt teljesül a következő becslés:

$\displaystyle (a^2-1)^2=a^4-2a^2+1<a^4-a^2+1\le a^4=(a^2)^2.$

Innen azonnal adódik, hogy $\displaystyle a^4-a^2+1$ csak abban az esetben lehet négyzetszám, ha $\displaystyle a^2=1$, így az összes megoldásra $\displaystyle a^2=1$ és ennek megfelelően $\displaystyle b^2=1$.

A pozitív egész számok halmazán $\displaystyle a=1, ~b=1$ az egyetlen megoldás.

Statisztika:

53 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ali Richárd, Beinschroth Máté, Bencze Mátyás, Bodor Ádám, Bui Thuy-Trang Nikolett, Dancs Bálint, Gyenes Károly, Hajdú Ábel, Holló Martin, Kerekes András, Klement Tamás, Kővágó Edit Gréta, Li Mingdao, Pázmándi József Áron, Péter Hanna, Rajtik Sándor Barnabás, Sajter Klaus, Sánta Gergely Péter, Sárdinecz Dóra, Sha Jingyuan, Sun Wen Ze, Szabó 721 Sámuel, Wágner Márton, Zhai Yu Fan.
3 pontot kapott:	Diaconescu Tashi.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	19 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2025. márciusi matematika feladatai