A C. 1000. feladat (2009. október)

C. 1000. Egy kerek asztalnál hazugok és igazmondók ülnek, összesen 30-an. Tudjuk, hogy minden hazudós két szomszédja közül pontosan az egyik hazudós. A 30 ember közül 12-en azt mondják, hogy nekik pontosan egy hazudós szomszédjuk van, a többiek pedig azt, hogy mindkét szomszédjuk hazudós. Hány hazudós ül az asztalnál?

Kárpátaljai feladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A feltételek szerint azt, hogy pontosan egy hazudós szomszédjuk van, csak az igazmondók mondhatják. Ekkor a következő ülésrend lehetséges: (I - igazmondó, H - hazudós) IHHIIHHI. Ha egy igazmondó mindkét oldalán hazudós ül, akkor az IHHIHHI szekvencia valósul meg. Három igazmondó nem ülhet egymás mellett a feltételek szerint. Ezek szerint a hazudósok száma páros. A két lehetséges szekvenciát az IHHI és a HHI üléssorrenddel írhatjuk le. Csak az első esetként, azaz hogy minden igazmondó mellett üljön hazudós is nem lehetséges, mert 30-an vannak, holott ennek a feltételnek csak annyian tudnak megfelelni, amikor számuk $\displaystyle 4$-gyel osztható. Ezért $\displaystyle 4k+3l=30$, ahol $\displaystyle k$ az első eset előfordulása, $\displaystyle l$ pedig a másodiké, ami úgy is megfogalmazható, hogy $\displaystyle 2(k+l)$ hazudós és $\displaystyle 2k+l$ igazmondó, továbbá, hogy $\displaystyle 2k=12$, ahonnan $\displaystyle l=2$. Tehát 16 hazudós és 14 igazmodó ül az asztalnál.

Statisztika:

406 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	317 versenyző.
4 pontot kapott:	11 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	24 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.
Nem versenyszerű:	13 dolgozat.

A KöMaL 2009. októberi matematika feladatai