A C. 1001. feladat (2009. október)

C. 1001. Egy egész számnak két prímosztója van. Osztóinak száma 6, osztóinak összege 28. Melyik ez a szám?

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a szám a feladatnak megfelelően $\displaystyle n=a^k\cdot b^l$, továbbá az osztók száma $\displaystyle (k+1)(l+1)=6$. Mivel $\displaystyle k,l\ge 1$, ezért a két hatványkitevő $\displaystyle 1$ és $\displaystyle 2$. Tegyük fel, hogy $\displaystyle k=2$. Az osztók tehát az $\displaystyle 1$, $\displaystyle a$, $\displaystyle a^2$, $\displaystyle b$, $\displaystyle ab$ és $\displaystyle n$, az összegük pedig $\displaystyle (1+b)(1+a+a^2)=28=1\cdot 28=2\cdot 14=4\cdot 7$. Mivel $\displaystyle a,b\ge 2$, ezért $\displaystyle 1+b\ge 3$, tehát $\displaystyle 1+a+a^2\le 9 1/3$, ugyanakkor $\displaystyle 1+a+a^2\ge 7$, amiből $\displaystyle 1+b\le 4$. Tehát a prímosztók csak a $\displaystyle 2$ és a $\displaystyle 3$ lehetnek, mégpedig $\displaystyle a=2$ és $\displaystyle b=3$ (különben az osztók összege $\displaystyle 39$). A keresett szám a 12.

Statisztika:

488 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	136 versenyző.
4 pontot kapott:	117 versenyző.
3 pontot kapott:	75 versenyző.
2 pontot kapott:	75 versenyző.
1 pontot kapott:	61 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.
Nem versenyszerű:	15 dolgozat.

A KöMaL 2009. októberi matematika feladatai