A C. 1004. feladat (2009. október)

C. 1004. Az ABCD négyzet A csúcsára illeszkedő tetszés szerinti egyenesre merőlegeseket állítottunk a B és D pontokból, melyeknek talppontja rendre B₁ és D₁. Igazoljuk, hogy AB₁²+AD₁²=BB₁²+DD₁².

(5 pont)

A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a négyzet oldalának hosszát $\displaystyle a$-val, legyen $\displaystyle AB_1=b$, $\displaystyle AD_1=d$, $\displaystyle BB_1=x$ és $\displaystyle DD_1=y$. Az $\displaystyle BB_1A$ és $\displaystyle AD_1D$ háromszögek egybevágóak, mert derékszögűek, az átfogójuk ugyanolyan hosszú, és a $\displaystyle B_1BA$ ill. $\displaystyle D_1AD$ szögek merőleges szárú szögek lévén ugyanakkorák. A háromszögekben felírva Pitagorasz tételét $\displaystyle b^2 + x^2 =a^2$ ill. $\displaystyle d^2 + y^2 =a^2$. Az egybevágóság miatt $\displaystyle b=y$ és $\displaystyle d=x$-ből adódik a fenti két egyenlőség bal oldalainak egyenlősége miatt, hogy $\displaystyle b^2 + d^2 = x^2 + y^2$, ami pont a bizonyítandó állítás.

Statisztika:

406 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	223 versenyző.
4 pontot kapott:	76 versenyző.
3 pontot kapott:	30 versenyző.
2 pontot kapott:	26 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	26 versenyző.
Nem versenyszerű:	12 dolgozat.

A KöMaL 2009. októberi matematika feladatai