 |
A C. 1004. feladat (2009. október) |
C. 1004. Az ABCD négyzet A csúcsára illeszkedő tetszés szerinti egyenesre merőlegeseket állítottunk a B és D pontokból, melyeknek talppontja rendre B1 és D1. Igazoljuk, hogy AB12+AD12=BB12+DD12.
(5 pont)
A beküldési határidő 2009. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a négyzet oldalának hosszát \(\displaystyle a\)-val, legyen \(\displaystyle AB_1=b\), \(\displaystyle AD_1=d\), \(\displaystyle BB_1=x\) és \(\displaystyle DD_1=y\). Az \(\displaystyle BB_1A\) és \(\displaystyle AD_1D\) háromszögek egybevágóak, mert derékszögűek, az átfogójuk ugyanolyan hosszú, és a \(\displaystyle B_1BA\) ill. \(\displaystyle D_1AD\) szögek merőleges szárú szögek lévén ugyanakkorák. A háromszögekben felírva Pitagorasz tételét \(\displaystyle b^2 + x^2 =a^2\) ill. \(\displaystyle d^2 + y^2 =a^2\). Az egybevágóság miatt \(\displaystyle b=y\) és \(\displaystyle d=x\)-ből adódik a fenti két egyenlőség bal oldalainak egyenlősége miatt, hogy \(\displaystyle b^2 + d^2 = x^2 + y^2\), ami pont a bizonyítandó állítás.
Statisztika:
406 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 223 versenyző. 4 pontot kapott: 76 versenyző. 3 pontot kapott: 30 versenyző. 2 pontot kapott: 26 versenyző. 1 pontot kapott: 13 versenyző. 0 pontot kapott: 26 versenyző. Nem versenyszerű: 12 dolgozat.
A KöMaL 2009. októberi matematika feladatai