A C. 1012. feladat (2009. december)

C. 1012. Egy négyzet mindegyik csúcsa köré olyan kört rajzolunk, amelyik átmegy a négyzet középpontján. Ezek a körök a négyzet oldalait összesen 8 pontban metszik. Bizonyítsuk be, hogy a metszéspontok egy szabályos nyolcszög csúcsai.

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a négyzet oldalának hossza 2 egység. Ekkor a berajzolt körök sugara $\displaystyle \sqrt 2$. Egy oldalon az oldal felezőpontja és a körvonal $\displaystyle x=\sqrt 2 -1$ távolságra vannak, ugyanazon pont a körön a csúcstól $\displaystyle y=2-\sqrt 2$ távolságra van. Egy csúcshoz legközelebb eső metszéspontok távolsága $\displaystyle z= \sqrt 2 (2 - \sqrt 2) = 2(\sqrt 2 - 1)$. A metszéspontok által meghatározott nyolcszög oldalainak hossza $\displaystyle 2x$, ha az oldal a négyzet oldalára esik, illetve $\displaystyle z$. Mivel mindkettő $\displaystyle 2(\sqrt 2 - 1)$, és a nyolcszög minden szöge egyenlő a szimmetriák miatt, ezért a metszéspontok valóban egy szabályos nyolcszög csúcsai.

Statisztika:

307 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	133 versenyző.
4 pontot kapott:	100 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	30 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai