A C. 1013. feladat (2009. december)

C. 1013. Ábrázoljuk a sík azon pontjait, amelyek (x;y) koordinátáira teljesül az alábbi két összefüggés:

x²+y²2, .

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle x^2 + y^2 \le 2$ az origó középpontú, $\displaystyle \sqrt 2$ sugarú körlap pontjainak koordinátáira teljesül. $\displaystyle -1\le \frac{x}{x+y}\le 1$ teljesül, ha $\displaystyle x=0$. Legyen $\displaystyle m=\frac yx$, ha $\displaystyle x\ne 0$-val egyszerűsítve a $\displaystyle -1\le \frac{1}{1+m}\le 1$ egyenlőtlenségeket vizsgáljuk. $\displaystyle \frac{1}{1+m}\le 1$ akkor teljesül, ha $\displaystyle m\ge 0$ vagy $\displaystyle m< -1$. $\displaystyle -1\le \frac{1}{1+m}$ pontosan akkor teljesül, ha $\displaystyle 0\le \frac{2+m}{1+m}$, azaz $\displaystyle 2+m\ge 0$ és $\displaystyle 1+m>0$ vagy $\displaystyle 2+m\le 0$ és $\displaystyle 1+m<0$. Az első $\displaystyle m>-1$ esetén teljesül, a második eset akkor, ha $\displaystyle m\le -2$. Az eredeti egyenlőtlenségek egyszerre akkor teljesülnek, ha $\displaystyle m\ge 0$ vagy $\displaystyle m\le -2$ és $\displaystyle x\ne 0$. A pontok a két csíkozott körcikk belsejében és határárán vannak az origó kivételével.

Statisztika:

199 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	78 versenyző.
4 pontot kapott:	50 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	19 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	6 dolgozat.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai