A C. 1014. feladat (2009. december)

C. 1014. Az újévi koncertre jegyet vásárlók száma négyzetszám. Ha 100-zal többen vettek volna jegyet, akkor a nézők száma egy négyzetszámnál eggyel több lenne. Ha még 100-an vennének jegyet, akkor a nézők száma ismét négyzetszám lenne. Hányan vettek jegyet a koncertre?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A feladat szerint vannak olyan $\displaystyle n<m<p$ természetes számok, melyekkel a nézők száma $\displaystyle n^2$, ha százan többen vannak, $\displaystyle n^2 + 100=m^2 + 1$, ha kétszázzal többen vannak, akkor $\displaystyle n^2 + 200 = p^2$. $\displaystyle m^2 - n^2 = 99$ szorzattá bontásával $\displaystyle (m-n)(m+n)=1\cdot 99 = 3\cdot 33 = 9\cdot 11$ lehet. Ugyanígy $\displaystyle p^2 - n^2 = 200$ szorzattá bontásával $\displaystyle (p-n)(p+n)=1\cdot 200 = 2\cdot 100 = 4\cdot 50 = 5\cdot 40 = 8\cdot 25 = 10\cdot 20$ lehet. Készítsünk táblázatot $\displaystyle n$, $\displaystyle m$ és $\displaystyle p$ lehetséges értékeiről.

Csak egyetlen $\displaystyle n$ érték közös a két táblázatban, ekkor $\displaystyle n=49$, $\displaystyle m=50$ és $\displaystyle p=51$. Tehát a nézőtéren $\displaystyle 49^2$-en, azaz $\displaystyle \mathbf{2401}$-en voltak.

Statisztika:

321 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	218 versenyző.
4 pontot kapott:	40 versenyző.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
1 pontot kapott:	16 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai