A C. 1014. feladat (2009. december)

C. 1014. Az újévi koncertre jegyet vásárlók száma négyzetszám. Ha 100-zal többen vettek volna jegyet, akkor a nézők száma egy négyzetszámnál eggyel több lenne. Ha még 100-an vennének jegyet, akkor a nézők száma ismét négyzetszám lenne. Hányan vettek jegyet a koncertre?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A feladat szerint vannak olyan \(\displaystyle n<m<p\) természetes számok, melyekkel a nézők száma \(\displaystyle n^2\), ha százan többen vannak, \(\displaystyle n^2 + 100=m^2 + 1\), ha kétszázzal többen vannak, akkor \(\displaystyle n^2 + 200 = p^2\). \(\displaystyle m^2 - n^2 = 99\) szorzattá bontásával \(\displaystyle (m-n)(m+n)=1\cdot 99 = 3\cdot 33 = 9\cdot 11\) lehet. Ugyanígy \(\displaystyle p^2 - n^2 = 200\) szorzattá bontásával \(\displaystyle (p-n)(p+n)=1\cdot 200 = 2\cdot 100 = 4\cdot 50 = 5\cdot 40 = 8\cdot 25 = 10\cdot 20\) lehet. Készítsünk táblázatot \(\displaystyle n\), \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle p\) lehetséges értékeiről.

Csak egyetlen \(\displaystyle n\) érték közös a két táblázatban, ekkor \(\displaystyle n=49\), \(\displaystyle m=50\) és \(\displaystyle p=51\). Tehát a nézőtéren \(\displaystyle 49^2\)-en, azaz \(\displaystyle \mathbf{2401}\)-en voltak.

Statisztika:

321 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	218 versenyző.
4 pontot kapott:	40 versenyző.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
1 pontot kapott:	16 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2009. decemberi matematika feladatai