A C. 1026. feladat (2010. március)

C. 1026. Egy négyzet átlóit hosszabbítsuk meg az egyik irányban a négyzet oldalának hosszával. Hány egyenlőszárú háromszöget határoznak meg a meghosszabbítások végpontjai és a négyzet csúcsai?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A feladat elrendezése szimmetrikus \(\displaystyle EF\) felezőmerőlegesére. Mivel ezen az egyenesen egy pontja sincs az elrendezésnek, ezért minden háromszöget párosíthatjuk a tükörképével. Ha az egyik egyenlőszárú volt, akkor a másik is az, ezért az egyenlőszárú háromszögek száma páros. Az adott pontokból hármat \(\displaystyle \binom 63 =20\) féle képpen választhatunk, ezek közül \(\displaystyle ACE\) és \(\displaystyle BDF\) egy egyenesbe esnek, így 18 háromszöget határoznak meg a pontok. Másrészről \(\displaystyle \binom 62 =15\) szakaszt találunk. Válasszuk meg mérési egységnek a négyzet oldalát. A szakaszok hosszai: \(\displaystyle 1=AB=AD=BC=DC=CE=DF\), \(\displaystyle \sqrt 2=AC=BD\), \(\displaystyle \sqrt{2+\sqrt 2}=DE=CF=AF=BE\), \(\displaystyle \sqrt 2 +1=BF=AE=EF\). Az (egybevágó) \(\displaystyle AED\), \(\displaystyle DEF\), \(\displaystyle BCF\), \(\displaystyle CEF\), \(\displaystyle ABE\) és \(\displaystyle ABF\) háromszögek nem egyenlőszárúak, azaz 12 egyenlőszárú háromszög található.

Statisztika:

260 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Adrián Patrik, Baráti László, Benyó Krisztián, Bodnár Patrícia, Bogye Balázs, Böröcz Bence, Dolgos Tamás, Filinger Zsófia Klára, Gubicza 728 Krisztina, Horváth 131 Anna, Kasó Márton, Kovács Flóra, Máthé László, Mayer Martin János, Mihálykó András, Molnár Bertalan, Nagy 021 Tibor, Nagy Dóra, Nemkin Viktória, Samu Viktor, Sápi András, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Szigeti Bertalan György, Szilágyi Gergely Bence, Szoboszlai László, Tóth 523 Bálint, Varsányi 123 Márk.
4 pontot kapott:	Balogh Beáta, Bärnkopf Pál, Bogár Blanka, Gehér Péter, Gujás István, Hunyady Gergely, Nánási József, Papp 523 Richárd, Rónaky Rebeka, Sándor Tímea, Tóth Balázs, Vadász Mihály.
3 pontot kapott:	62 versenyző.
2 pontot kapott:	56 versenyző.
1 pontot kapott:	71 versenyző.
0 pontot kapott:	26 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2010. márciusi matematika feladatai