A C. 1029. feladat (2010. március)

C. 1029. A üzletben 160 db húsvéti képeslap van egy kupacban. Egy vevő kettéveszi ezt a kupacot (nem feltétlenül két egyenlő részre, de mindkét kupacban legalább két képeslap van). Az egyikből egy képeslapot megvesz. A következő vásárló ugyanígy jár el, vagyis valamelyik meglévő kupacot megint kettéoszt az előbbi feltételek szerint, és az egyik kupacból egy képeslapot megvesz. Elérhető-e ilyen módon, hogy minden kupacban négy képeslap legyen?

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. április 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Minden vásárláskor eggyel nő a kupacok száma, és minden kupacban legalább két képeslap van. Ezért az olyan kupacok, amelyekben 2 vagy 3 lap van már nem bonthatók ketté, azaz nem szüntethetünk meg kupacot. Ezért ha $\displaystyle k$ vásárló járt a boltban, akkor az utolsó vásárlása után $\displaystyle k+1$ kupac maradt a pulton, melyekben összesen $\displaystyle 160-k$ képeslap van. Ha minden kupacban pontosan 4 található, akkor a lapok száma $\displaystyle 4(k+1)=160-k$, amiből $\displaystyle 5k=156$. Mivel 156 nem osztható 5-tel, ezért ellentmondásra jutunk. Nem érhető el tehát, hogy a feladatbeli eljárást követve csupa 4 képeslapból álló kupacaink maradjanak.

Statisztika:

204 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	166 versenyző.
0 pontot kapott:	34 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2010. márciusi matematika feladatai