A C. 1033. feladat (2010. április)

C. 1033. Oldjuk meg az alábbi egyenletet: $\displaystyle \log_{2010}\,(2009\,x)=\log_{2009}\,(2010\,x)$.

Javasolta: Pataki János (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2010. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A feladat értelmezési tartománya: $\displaystyle x>0$. Áttérve 2009-es alapra:

$\displaystyle \frac{\log_{2009} (2009x)}{\log_{2009} 2010}=\log_{2009} (2010x).$

Szorozhatunk a nem 0 nevezővel:

$\displaystyle \log_{2009} (2009x) =\log_{2009} 2010\cdot \log_{2009} (2010x).$

Alkalmazzuk a szorzat logaritmusára ismert összefüggést:

$\displaystyle \log_{2009} 2009+\log_{2009} x =\log_{2009} 2010\cdot (\log_{2009} 2010+\log_{2009} x),$

$\displaystyle 1+\log_{2009} x =\log_{2009}^2 2010+\log_{2009} 2010\cdot \log_{2009} x,$

$\displaystyle \log_{2009} x =-\frac{\log_{2009}^2 2010-1}{\log_{2009} 2010-1},$

$\displaystyle \log_{2009} x =-\log_{2009} 2010-1,$

$\displaystyle \log_{2009} x =\log_{2009} 2010^{-1}-\log_{2009} 2009,$

$\displaystyle \log_{2009} x =\log_{2009} \frac{1}{2009\cdot 2010}.$

A $\displaystyle \log_{2009} x$ függvény szigorú monotonitása miatt ez akkor és csak akkor teljesül, ha

$\displaystyle x=\frac{1}{2009\cdot 2010},$

ami eleget tesz a kikötésnek. (Ellenőrzéssel látható, hogy jól számoltunk.)

Blóz Gizella Evelin (Paks, Vak Bottyán Gimn., 11. évf.)

Statisztika:

148 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	59 versenyző.
4 pontot kapott:	42 versenyző.
3 pontot kapott:	28 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.

A KöMaL 2010. áprilisi matematika feladatai